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相关试卷

1、 $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x), g (x)$ 中的较小者，记为 $M (x) = \min {f (x), g (x)}$ ，设函数 $f (x) = e^{x - 1} + x - 2, g (x) = - x^{2} + (a - 1) x - a$ ，若 $\forall x \in R, M (x) \leq 0$ ，则a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 3 + 2 \sqrt{2}]$ B、 $(- \infty, 6]$ C、 $[3 - 2 \sqrt{2}, 3 + 2 \sqrt{2}]$ D、 $[3 - 2 \sqrt{2}, + \infty)$

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2、已知圆O是圆心为原点的单位圆，A，B是圆O上任意两个不同的点， $M (2, 0)$ ，则 $| \vec{M A} + \vec{M B} |$ 的取值范围为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(2, 6)$

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3、某研究小组为了解某市高中生自主阅读情况，随机调查了2000名学生的每周自主阅读时间，按照时长（单位：小时）分成五组： $[2, 4), [4, 6), [6, 8), [8, 10), [10, 12)$ ，得到如图所示的频率分布直方图，其中每周自主阅读时间不低于8小时的频率为0.3.则以下说法中错误的是（）

A、 $a + b = 0.30$ B、估计样本数据的第60百分位数值是7.5小时 C、样本的极差介于6小时至10小时之间 D、估计这2000名学生每周自主阅读时间的平均值是6.5小时

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4、下列命题中错误的命题是（）

A、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则“ $a_{1} > 0$ ”是“ $S_{3} > S_{2}$ ”的充分必要条件； B、对于命题p： $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $x_{0}^{2} - 1 \leq 0$ ，则 $\neg p : \forall x \in R$ ，都有 $x^{2} - 1 > 0$ ； C、设函数 $f (x) = x - \sin x (x \in R)$ ，则函数f（x）有三个不同的零点； D、若随机变量 $X ~ N (2, σ^{2})$ ，则 $P (X > 2) = 0.5$ ；

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5、某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有（）

A、36种 B、60种 C、120种 D、180种

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6、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比与等差数列 $\{b_{n}\}$ 的公差均为2，且 $a_{1} = b_{1} + 2 = 2$ ，设数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = \{\begin{array}{l} a_{n}, n 为奇数 \\ b_{n}, n 为偶数 \end{array}$ ， $n \in N^{*}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 的前20项的和为（）

A、 $\frac{598 - 2^{21}}{3}$ B、 $\frac{598 + 2^{21}}{3}$ C、 $\frac{602 + 2^{20}}{3}$ D、 $\frac{602 + 2^{21}}{3}$

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7、已知点 $P (m, - 2)$ 在函数 $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ 的图象上，点A的坐标是 $(4, 3)$ ，那么 $| \vec{A P} |$ 的值是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $5 \sqrt{2}$

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8、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | x < 2\}$ ， $B = \{x | x < 1\}$ ，则集合 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- \infty, 1) \cup [2, + \infty)$

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9、已知直线 $l_{1} : 2 x + a^{2} y - 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : 3 a x - y + 9 = 0$ ，则“ $a = 6$ ”是 $l_{1} ⊥ l_{2}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、即不充分也不必要条件

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10、双曲余弦函数 $cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，双曲正弦函数 $sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ．

(1)、求函数 $cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ 的单调增区间；

(2)、若函数 $y = cosh 2 x - a sinh x$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值是 $\frac{1}{4}$ ，求实数a的值；

(3)、对任意 $x \in R, cosh (x) \geq cos x + m x^{2}$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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11、已知椭圆的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，且经过点 $P (- 1, \frac{3}{2})$ ．

(1)、求该椭圆的离心率；

(2)、点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若 $△ P Q F_{2}$ 的面积为3，求点Q的坐标；

(3)、A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点 $F_{1}$ ，且 $\vec{A B} \cdot \vec{C D} = 0$ ，求 $|A B| + |C D|$ 的取值范围．

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12、2024年第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的200名参会者进行调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为 $[15, 25), [25, 35), [35, 45), [45, 55), [55, 65), [65, 75]$ .把年龄落在区间 $[15, 35)$ 内的人称为“青年人”，把年龄落在区间 $[35, 65)$ 内的人称为“中年人”，把年龄落在 $[65, 75]$ 内的人称为“老年人”.

(1)、求所抽取的“青年人”的人数；

(2)、以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中女性共4人，这4人中有3人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人.
①简述如何采用抽签法任选2人；
②设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由.

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13、如图所示，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD是正方形，O是底面的中心， $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ ；

(2)、求直线 $O A_{1}$ 与平面 $A A_{1} B$ 所成角的正弦值．

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14、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b sin A - \sqrt{3} a cos B = 0$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $b = 2, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，请判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由．

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15、数列 $\{a_{n}\}$ 为严格增数列，且对任意的正整数n，都有 $\frac{a_{n + 1}}{n + 1} \geq \frac{a_{n}}{n}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 满足“性质Ω”．
①存在等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足“性质Ω”；
②任意等比数列 $\{a_{n}\}$ ，若首项 $a_{1} > 0$ ，则 $\{a_{n}\}$ 满足“性质Ω”；
下列选项中正确的是（）

A、①是真命题，②是真命题； B、①是真命题，②是假命题； C、①是假命题，②是真命题； D、①是假命题，②是假命题．

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16、已知函数 $y = sin (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{3})$ 上单调递增，则ω的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, \frac{4}{3})$ D、 $(0, \frac{6}{5}]$

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17、已知非零空间向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 和 $\vec{c}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{a} ⊥ \vec{c}$ ，则 $\vec{b} ∥ \vec{c}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{a} ⊥ \vec{c},$ 则 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{a} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{b} ∥ \vec{c}$ D、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}, \vec{a} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$

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18、已知复数z和 $\bar{z}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z + \bar{z}$ 一定是实数 B、 $z - \bar{z}$ 一定是虚数 C、若 $z + \bar{z} = 0$ ，则 $z$ 是纯虚数 D、若 $z - \bar{z} = 0$ ，则 $z$ 是纯虚数

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19、点P、M、N分别位于正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面上， $A B = 1$ ，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最小值是．

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20、设O为坐标原点，从集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 中任取两个不同的元素x、y，组成A、B两点的坐标 $(x, y) 、 (y, x)$ ，则 $S_{△ A O B} \leq 10$ 的概率为．

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