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相关试卷

1、若复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ D、4

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2、已知集合 $A = \{x | x - 2 \leq 0\}, B = \{- 2, - 1, 1, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 1, 3\}$ B、 $\{- 2, - 1, 1\}$ C、 $\{- 1, 1, 3\}$ D、 $\{- 1, 1\}$

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3、命题“ $\exists x > 1$ ， $x^{2} - a x + 2 < 0$ ”的否定是．

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4、已知A，B分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右顶点，点 $P (2 \sqrt{2}, n)$ 是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = | A B | = 4$ .

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、已知过点 $(4, 0)$ 的直线 $l : x = m y + 4$ ，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线 $A D$ 与直线 $B E$ 交于点Q，求证：点Q在定直线上.

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5、已知两直线 $l_{1} : x + y + 2 = 0$ 和 $l_{2} : 3 x - 2 y + 1 = 0$ 的交点为 $P$ ．

(1)、直线 $l$ 过点 $P$ 且与直线 $x + 3 y + 1 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的一般式方程；

(2)、圆 $C$ 过点 $(1, 0)$ 且与 $l_{1}$ 相切于点 $P$ ，求圆 $C$ 的一般方程．

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6、阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点 $P$ 到两个定点的距离之比为常数 $λ$ （ $λ > 0$ ，且 $λ \neq 1$ ），那么点 $P$ 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点 $P$ 到 $A (2, 0)$ ， $B (- 2, 0)$ 的距离比为 $\sqrt{3}$ ，则点 $P$ 到直线 $l$ ： $2 \sqrt{2} x - y - \sqrt{2} = 0$ 的距离的最大值是.

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7、已知点 $P (6, y_{0})$ 在焦点为 $F$ 的抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，若 $|P F| = \frac{15}{2}$ ，则 $p =$ .

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8、已知向量 $\vec{a} = (2, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, - 1, - 1)$ ，若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) / / (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$ .

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9、3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为 $\sqrt{10}$ 的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为 $6 \sqrt{2} cm$ ，下底直径为 $9 \sqrt{2} cm$ ，喉部（中间最细处）的直径为 $8 cm$ ，则该塔筒的高为（）

A、 $\frac{27}{2} cm$ B、 $18 cm$ C、 $\frac{27 \sqrt{2}}{2} cm$ D、 $18 \sqrt{2} cm$

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10、设椭圆 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ 的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点相同，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则此椭圆的方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{12} = 1$ B、 $y^{2} + \frac{x^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ D、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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11、已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y + 4 = 0$ 相交于A，B两点，则两圆公共弦所在直线的方程为（）

A、 $3 x - 3 y - 4 = 0$ B、 $3 x - 3 y + 4 = 0$ C、 $x + y - 3 = 0$ D、 $x + y + 3 = 0$

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12、若向量 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 1, - 3)$ ，则 $|2 \vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3$ D、 $3 \sqrt{2}$

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13、如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P A = B C = 2$ ， $P C = A B = 4$ ， $E$ 为棱 $A B$ 的中点， $F$ 为棱 $P C$ 上的点.

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若二面角 $P - A F - E$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，求点 $P$ 到平面 $A E F$ 的距离.

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14、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 在 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]$ 上单调，且 $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{4 π}{3}) = - f (- \frac{π}{3})$ ，则 $ω$ 的最大值为．

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15、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{2 n} = (3^{n} + 1) S_{n}$ ，则 $\frac{S_{6}}{S_{2}} =$ .

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16、在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 3$ ， $A C = 1$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点，点 $E$ 是线段 $A D$ 上一点，且 $A E = \frac{1}{3} A D$ ，连接 $C E$ 并延长交边 $A B$ 于点 $P$ ，则线段 $C P$ 的长度为（）

A、 $\frac{7}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{37}}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{35}}{5}$

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17、如图，圆柱的底面直径为3，母线长为4， $A B$ ， $C D$ 分别为该圆柱的上、下底面的直径，且 $A B ⊥ C D$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的体积是（）

A、24 B、18 C、12 D、6

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18、药房里有若干味药．药剂师用这些药配成22副药方，每副药方中恰有5味药，从中任选的三味药都恰好只包含在某一副药方中．

(1)、药房中共有几味药？

(2)、药物分为烈性药和非烈性药，要求每副药方中至少有一味是烈性药．
（i）假设药房中有7味烈性药，证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药；
（ii）证明：全部药方中一定有一副药方至少含有4味烈性药．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ ，满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 4 a_{n} - 3 n - 2, n \in N^{*}$ ，记 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} + \sin \frac{1}{a_{n}}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求证： $b_{n} > 2 \ln (\frac{1}{a_{n}} + 1), n \in N^{*}$ ；

(3)、设数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，证明： $2 \ln \frac{n + 2}{2} < S_{n} < 4 (\sqrt{n + 1} - 1), n \in N^{*}$ ．

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20、小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌．

(1)、求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率．

(2)、抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列．

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