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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (t, 1), \vec{b} = (t + 2, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $t =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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2、如图，已知在圆柱 $O O_{1}$ 中，A，B，C是底面圆O上的三个点，且线段 $B C$ 为圆O的直径， $A_{1}$ ， $B_{1}$ 为圆柱上底面上的两点，且矩形 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， D，E分别是 $A A_{1}$ ， $C B_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $D E ∥$ 平面 $A B C$ ．

(2)、若 $△ B_{1} B C$ 是等腰直角三角形，且 $D E ⊥$ 平面 $C B B_{1}$ ，求平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $B B_{1} C$ 的夹角的正弦值．

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3、已知椭圆 $T : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为 $T$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，若 $|P F_{1}| |P F_{2}| = \frac{4 b^{2}}{3}$ ， $△ P F_{1} F_{2}$ 的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆 $T$ 的离心率 $e =$ ．

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4、将棱长为4的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为．

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5、已知函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ ，若把函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到的图像关于原点对称，则（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{12}]$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{2}]$ 上有2个零点

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6、已知在正四面体 $O A B C$ 中， $O A = 1$ ，则直线 $O A$ 与平面 $O B C$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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7、某城市运动会的组委会安排甲､乙等5名志愿者去足球､篮球､排球､乒乓球4个比赛场馆从事志愿者活动，每人只去一个场馆，若排球场馆必须安排2人，其余场馆各安排1人，则不同的方案种数为（）

A、48 B、52 C、60 D、68

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8、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{5} = 15$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $- 10$ B、 $- 3$ C、10 D、3

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9、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (2, 1)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ．过 $B (3, 0)$ 作直线l与椭圆交于C、D两点，直线 $A C 、 A D$ 分别与直线 $x = 3$ 交于E、F．

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、记直线 $A C 、 A D$ 的斜率分别为 $k_{1} 、 k_{2}$ ，证明 $k_{1} + k_{2}$ 是定值；

(3)、是否存在实数 $λ$ ，使 $S_{△ C D E} = λ S_{△ C D F}$ 恒成立．若存在，请求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = {(- 1)}^{n} + \cos \frac{n π}{3}$ ，若 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{2024} =$ ．

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11、设椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (c, 0)$ ，点 $A (3 c, 0)$ 在椭圆外， $P$ 、 $Q$ 在椭圆上，且 $P$ 是线段 $A Q$ 的中点.若直线 $P Q$ 、 $P F$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，则椭圆的离心率为.

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12、已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是．

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13、幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是 $7.6$ ， $8.5$ ， $7.8$ ， $9.2$ ， $8.1$ ， $9$ ， $7.9$ ， $9.5$ ， $8.3$ ， $8.8$ ， $6.9$ ， $9.4$ ，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是.

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14、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G分别为棱 $A D, A B, B C$ 的中点，点P为线段 $D_{1} F$ 上的动点（包含端点），则（）

A、存在点P，使得 $C_{1} G / /$ 平面 $B E P$ B、对任意点P，平面 $F C C_{1} ⊥$ 平面 $B E P$ C、两条异面直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $45 °$ D、点 $B_{1}$ 到直线 $D_{1} F$ 的距离为4

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15、某企业为激发员工的工作热情，年终对职工进行绩效考核，按绩效发放年终奖，将评价结果采用百分制进行了初评，并根据员工得分绘制出下面的频率分布直方图，评分在区间 $[88, 100]$ 直接定为优秀，评分在区间 $[84, 88)$ ， $[76, 84)$ ， $[72, 76)$ ，分别对应为良好、合格、不合格．然后又对良好、合格、不合格的员工再进行一次复评．在复评中，原来评为良好、合格、不合格员工都有 $\frac{1}{4}$ 的概率提升一级，分别变为优秀、良好、合格，不晋级则保留原等级，每位员工的复评结果相互独立．

(1)、估计该企业初评成绩的中位数；（结果精确到0.1）

(2)、在初评中甲、乙、丙三人分别获得良好、合格、合格，记三人复评后为良好等级的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、从全体员工中任选1人，求在已知该员工是复评后晋级的条件下，初评是合格的概率．

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16、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\sqrt{3} b - a \sin C = \sqrt{3} a \cos C$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $c = 2$ ，求b的取值范围．

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17、第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级 $K_{n} (n \in N^{*})$ 角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为 $60 °$ ），则n级 $K_{n}$ 角雪花曲线的开三角个数为， n级 $K_{n}$ 角雪花曲线的内角和为．

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18、某冰淇淋门面店将上半部是半球（半球的半径为3），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为6）的冰淇淋模型放到椐窗内展览，托盘是边长为12的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为．

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19、已知复数 $z = a - 1 + (a + 3) i$ ， $a \in R$ ，则 $|z|$ 的最小值为．

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20、在 $n$ 个数码1，2，…， $n$ （ $n \in N$ ， $n \geq 2$ ）构成的一个排列 $j_{1} j_{2} \cdot \cdot \cdot j_{n}$ 中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如 $j_{2} > j_{5}$ ，则 $j_{2}$ 与 $j_{5}$ 构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为 $T (j_{1} j_{2} \cdot \cdot \cdot j_{n})$ ，例如， $T (312) = 2$ ，

(1)、计算 $T (51243)$ ；

(2)、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} \cdot T (51243) - T (3412)$ ， $a_{1} = 2$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设排列 $j_{1} j_{2} \cdot \cdot \cdot j_{n}$ （ $n \in N$ ， $n \geq 2$ ）满足 $j_{i} = n + 1 - i$ （ $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ）， $b_{n} = T$ （ $j_{1} j_{2} \cdot \cdot \cdot j_{n}$ ）， $S_{n} = \frac{1}{b_{2}} + \frac{1}{b_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{b_{n + 1}}$ ，求 $S_{n}$ ，

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