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相关试卷

1、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 5 = 0$ ， $O$ 为坐标原点，动点 $P$ 在 $x$ 轴上，动点 $Q (x_{0}, y_{0})$ 在圆 $C_{1}$ 上，线段 $O Q$ 的中点为 $M$ .则下列选项正确的是（）

A、 $M$ 的轨迹方程为 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ B、过点 $P$ 作圆 $C_{2}$ 的一条切线，则切线长最短为2 C、圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 有两条公切线 D、 $\frac{1 - y_{0}}{2 + x_{0}}$ 的最大值为 $\frac{4}{3}$

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2、已知两点 $M (- 4, 0)$ ， $N (4, 0)$ ，若直线上存在点P，使 $| P M | - | P N | = 6$ ，同时存在点Q，使 $| Q N | - | Q M | = 6$ ，则称该直线为“两全其美线”，给出下列直线，其中为“两全其美线”的是（）

A、 $y = \frac{\sqrt{7}}{3} x$ B、 $x = 4$ C、 $y = \frac{2}{3} x$ D、 $y = 2 x$

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3、如图，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $A (0, \sqrt{2})$ ，右焦点为 $F (c, 0)$ ，直线 $A F$ 交椭圆于 $B$ 点，且满足 $| A F | = 2 | F B |$ ， $| A B | = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）若直线 $y = k x (k > 0)$ 与椭圆相交于 $C, D$ 两点，求四边形 $A C B D$ 面积的最大值．

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4、定义：若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的两个点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 满足 $\frac{x_{1} x_{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1} y_{2}}{b^{2}} = 0$ ，则称 $A, B$ 为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图， $A, B$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的“共轭点对”，已知 $A (3, 1)$ ，且点 $B$ 在直线 $l$ 上，直线 $l$ 过原点．

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、已知 $P, Q$ 是椭圆 $C$ 上的两点， $O$ 为坐标原点，且 $P Q ∥ O A$ ．
（i）求证：线段 $P Q$ 被直线 $l$ 平分；
（ii）若点 $B$ 在第二象限，直线 $l$ 与 $P Q$ 相交于点 $M$ ，点 $N$ 为 $P B$ 的中点，求 $△ B M N$ 面积的最大值．

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5、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n + 1}$ 是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a_{n}, f (a_{n})) (a_{n} \neq 1)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标．证明：数列 $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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6、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1, A A_{1} = 2$ ．

(1)、在长方体中，过点 $C_{1}$ 作与平面 $A B_{1} D_{1}$ 平行的平面 $α$ ，并说明理由；

(2)、求直线 $B_{1} D$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值．

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7、某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿脾胃虚弱．采用有放回的简单随机抽样方法对治疗情况进行检查，得到如下数据：抽到接受甲种疗法的患儿55名，其中未治愈10名；抽到接受乙种疗法的患儿45名，其中治愈30名．

(1)、请补全如下列联表，并根据小概率值 $α = 0 ． 05$ 的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好；
疗法
疗效
合计
未治愈
治愈
甲
乙
合计

(2)、从接受乙种疗法的患儿中，按照疗效采用比例分配的分层随机抽样法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求这3人中未治愈人数 $X$ 的分布列及期望；
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (X^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

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8、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = 2, c = 3$ ，且 $sin B - sin 2 C = 0$ ．

(1)、求 $cos C$ 的值；

(2)、若点 $M$ 满足 $\vec{B M} = 2 \vec{M C}$ ，求 $A M$ 的长度．

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 1) = f (1 - x), f (x + 4) + f (- x) = 2$ ．若 $f (1) = 0$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2025} f (i) =$ ．

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10、现有3名男同学和2名女同学，从中抽取3名同学去两个不同的地方参加志愿者服务活动，且每个地方至少要有1名男同学，则不同的分配方式共有种．

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (m, 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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12、圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点 $F_{2}$ 处发出的光线，经过双曲线在点 $P$ 处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点 $F_{1}$ ，且双曲线在点 $P$ 处的切线平分 $∠ F_{1} P F_{2}$ ．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线 $C$ 过点 $(3, - 1)$ ，其左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ．若从 $F_{2}$ 发出的光线经双曲线右支上一点 $P$ 反射的光线为 $P Q$ ，点 $P$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $T$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的方程为 $x^{2} - y^{2} = 8$ B、过点 $P$ 且垂直于 $P T$ 的直线平分 $∠ F_{2} P Q$ C、若 $P F_{2} ⊥ P Q$ ，则 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 18$ D、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $|P T| = \frac{4 \sqrt{30}}{5}$

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13、已知函数 $f (x) = e^{x}, g (x) = ln x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 互为反函数 B、若 $x_{0}$ 是函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的极值点，则 $x_{0} = ln x_{0}$ C、若 $e^{x_{1}} = 2 - x_{1}, ln x_{2} = 2 - x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2$ D、点 $P$ 在曲线 $y = f (x)$ 上，点 $Q$ 在曲线 $y = g (x)$ 上，则 $|P Q| \geq \sqrt{2}$

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14、已知函数 $f (x) = sin 2 x$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2}, 0)$ 对称 B、函数 $|f (x)|$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有且仅有一个零点 D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象

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15、如图，从一个半径为 $2 \sqrt{3}$ 的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $\frac{27 π}{2}$ C、 $27 π$ D、 $\frac{27 \sqrt{6} π}{8}$

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16、已知线段 $A B$ 的长度为4，动点 $M$ 与点 $A$ 的距离是它与点 $B$ 的距离的 $\sqrt{2}$ 倍，则 $△ M A B$ 面积的最大值为（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、8 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $\frac{16}{3}$

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17、关于 $x, y$ 的方程 $x^{n} + y^{n} = 1 (n \in Z)$ 对应的曲线不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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18、已知 $α, β$ 为锐角，若 $tan α = \frac{3}{4}, cos (α + β) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $sin β =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$

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19、甲、乙两位学生的5次化学考试成绩如下表：
学生
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
87
91
90
89
99
乙
89
90
91
88
92
下列结论正确的是（）

A、甲的极差小于乙的极差 B、乙的平均数大于甲的平均数 C、乙的成绩比甲的成绩更稳定 D、甲的中位数小于乙的中位数

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20、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} = 5, a_{7} = 8$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、13 B、45 C、65 D、130

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学生	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次
甲	87	91	90	89	99
乙	89	90	91	88	92

疗法	疗效		合计
	未治愈	治愈
甲
乙
合计

$P (X^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828