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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 6, a_{n + 1} = \{\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2}, 当 a_{n} 为偶数时 \\ 3 a_{n} + 1, 当 a_{n} 为奇数时 \end{matrix} ，$ 则使得 $S_{n} \geq 2025$ 的最小整数 $n$ 的值为（）

A、851 B、852 C、853 D、854

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} - 2 t n + 5, (n \in N^{*})$ ，若 $\{a_{n}\}$ 是单调递增数列，则实数t的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{3}{2})$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, \frac{3}{2})$

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3、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且点 $P (1, 1)$ 是线段 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $- \frac{4}{9}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $- \frac{9}{4}$

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4、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 2$ ， $a_{5} a_{7} = 100$ ，则 $a_{4}$ 等于（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\pm 2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\pm \sqrt{5}$

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5、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则 $\vec{B M}$ 等于（）

A、 $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ D、 $\vec{A B} - \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$

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6、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(2^{x})}^{'} = x \cdot 2^{x - 1}$ B、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ C、 ${(\sqrt{x})}^{'} = \frac{2}{\sqrt{x}}$ D、 ${(x ln x)}^{'} = 1 + ln x$

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{4}$ 等于（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8、某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元( $3 \leq a \leq 5$ )的管理费，预计当每件产品的售价为x元( $9 \leq x \leq 11$ ) 时，一年的销售量为 ${(12 - x)}^{2}$ 万件．

(1)、求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)；

(2)、当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．

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9、如图， $y = f (x)$ 是可导函数，直线 l： $y = k x + 2$ 是曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 3$ 处的切线，令 $g (x) = x f (x)$ ，其中 $g^{'} (x)$ 是 $g (x)$ 的导函数，则( )

A、 $f (3) = 1$ B、 $f^{'} (3) = 1$ C、 $g (3) = 3$ D、 $g^{'} (3) = 0$

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10、已知函数 $f (x)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 有2个极值点 B、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值 C、 $f (x)$ 有极大值，没有极小值 D、 $f (x)$ 在 $(- \infty, 1)$ 上单调递减

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11、在三棱锥中 $P - A B C$ ， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ，且 $A B ⊥ B C$ .记直线 $P A$ ， $P C$ 与平面 $A B C$ 所成角分别为 $α$ ， $β$ ，已知 $β = 2 α = 60 °$ ，当三棱锥 $P - A B C$ 的体积最小时，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为.

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为4，一条渐近线的方程为 $y = \frac{\sqrt{2}}{2} x$ ，过点 $(6, 0)$ 的直线 $l$ 与C的右支交于A，B两点．

(1)、求C的标准方程；

(2)、P是x轴上的定点，且 $∠ A P B = 90 °$ ．
（i）求P的坐标：
（ii）若 $△ A P B$ 的外接圆被x轴截得的弦长为16，求外接圆的面积．

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13、已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为6，点 $M, N$ 分别是 $B C, A D$ 的中点，则下列几何体能够整体放入正四面体 $A - B C D$ 的有（）

A、底面在平面 $B C D$ 上，且底面半径为 $\sqrt{2}$ ，高为 $2 \sqrt{6}$ 的圆锥 B、底面在平面 $B C D$ 上，且底面半径为 $\sqrt{2}$ ，高为1的圆柱 C、轴为直线 $M N$ ，且底面半径为 $\sqrt{2}$ ，高为2的圆锥 D、轴为直线 $M N$ ，且底面半径为 $\sqrt{2}$ ，高为0.2的圆柱

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14、已知函数 $f (x) = x (x - 1) (e^{x} - a)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = e$ ，则 $f (x)$ 有2个零点 B、若 $a \leq 0$ ，则 $f (x) < 0$ 的解集为 $(0, 1)$ C、 $\forall a > 0, f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上有极小值 D、 $\exists 0 < a < 1, f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上有极大值

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15、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2^{n}$ ，则（）

A、 $9 a_{7} > 8 a_{8}$ B、 $9 a_{7} < 8 a_{8}$ C、 $9 S_{7} > 7 a_{8}$ D、 $9 S_{7} < 7 a_{8}$

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16、已知函数 $f (x) = sin x + cos x$ 的极值点与 $g (x) = tan (ω x + \frac{π}{4})$ 的零点完全相同，则 $ω =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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17、已知圆锥的轴截面为正三角形，外接球的半径为 $1$ ，则圆锥的体积为（）

A、 $\frac{3 π}{8}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{9 π}{8}$ D、 $\frac{9 π}{4}$

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18、已知曲线 $C : x y = 2$ ，过 $C$ 上点 $M (1, 2)$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}, l_{2}$ ，其中 $l_{1}$ 与 $C$ 的另一交点为 $A$ ， $l_{2}$ 与 $C$ 的另一交点为 $B$ ．

(1)、写出曲线 $C$ 的对称轴（不需证明）

(2)、证明：曲线 $C$ 是双曲线；

(3)、若 $M$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\sqrt{5}$ ，求直线 $A B$ 的方程．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \{\begin{array}{l} a_{n} + 1, n 为奇数 \\ a_{n} + 2, n 为偶数 \end{array}$

(1)、证明 $\{a_{2 n - 1}\}$ 是等差数列；

(2)、求 $S_{2 n}$ ；

(3)、求证： $\frac{1}{S_{2}} + \frac{1}{S_{4}} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{1}{S_{2 n - 2}} + \frac{1}{S_{2 n}} < \frac{2}{3}$

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20、如图，在五面体 $A B C D E$ 中， $△ A B C$ 为边长为2的等边三角形， $E A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C D // A E$ ， $C D = \frac{1}{2} A E$ .

(1)、求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、若直线 $E D$ 与平面 $A B E$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.

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