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相关试卷

1、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 3, x \leq 1 \\ - x^{2} + 2 x + 3, x > 1 \end{array}$ ，则使 $f (x) - e^{x} - m \leq 0$ 恒成立的 $m$ 的范围是．

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2、若函数 $f (x) = e^{x} + a x$ 有大于零的极值点，则实数a的取值范围是．

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3、若 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - f^{'} (1) x^{2} + x + 5$ ，则 $f^{'} (1) =$

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4、已知函数 $y = f (x)$ ， $x \in (0, \frac{π}{2})$ ， $f^{'} (x)$ 是其导函数，恒有 $\frac{f^{'} (x)}{\sin x} > \frac{f (x)}{\cos x}$ ，则（）

A、 $f (\frac{π}{3}) > \sqrt{2} f (\frac{π}{4})$ B、 $f (\frac{π}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2} f (\frac{π}{6})$ C、 $f (\frac{π}{6}) < 2 \cos 1 \cdot f (1)$ D、 $f (\frac{π}{3}) > 2 f (1) \cos 1$

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5、函数 $f (x)$ 的定义域为 $(a, b)$ ，导函数 $f^{'} (x)$ 在 $(a, b)$ 内的图象如图所示，则下列命题正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内一定不存在最小值 B、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内只有一个极小值点 C、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内有两个极大值点 D、函数 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内可能没有零点

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6、下列复合函数的导数计算正确的有（）

A、若函数 $f (x) = e^{2 x}$ ，则 $f^{'} (x) = 2 e^{2 x}$ B、若函数 $f (x) = ln (\frac{2}{x})$ ，则 $f^{'} (x) = - \frac{1}{x}$ C、若函数 $f (x) = 3^{3 x + 1}$ ，则 $f^{'} (x) = 3^{3 x + 1} ln 3$ D、若函数 $f (x) = {sin}^{2} (3 x + \frac{π}{4})$ ，则 $f^{'} (x) = 3 cos (6 x)$

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7、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 1)$ ，则下列结论中正确的个数是（）
①当 $x > 0$ 时， $f (x) = - e^{- x} (x - 1)$
②函数 $f (x)$ 有3个零点
③ $f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty, - 1) \cup (0, 1)$
④ $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < 2$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8、若点 $P (1, m)$ 不在函数 $f (x) = x^{3} - 3 m x$ 的图像上，且过点P有三条直线与 $f (x)$ 的图像相切，则实数m的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{4})$ B、 $(0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{4}] \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$

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9、随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学､航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系 $P (t) = P_{0} \cdot 2^{- \frac{t}{30}}$ ，其中P₀为 $t = 0$ 时该放射性同位素的含量.已知 $t = 15$ 时，该放射性同位素的瞬时变化率为 $- \frac{3 \sqrt{2} \ln 2}{10}$ ，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（）

A、20天 B、30天 C、45天 D、60天

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10、函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + 3 x + a （其中 a \in R ）$ 的单调增区间是（）

A、 $(- \infty, - 1), (3, + \infty)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 1)$ D、 $R$

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11、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(x + \frac{3}{x})}^{'} = 1 + \frac{3}{x}$ B、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \log_{3} e$ C、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$ D、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 2}$

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12、已知函数 $f (x) = 2 e^{x} + a x + 2$ .

(1)、若 $a = - 4$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $a > 0$ ，不相等的实数 $m, n$ 满足 $f (m) + f (n) = m^{2} + n^{2} + 8$ ，求证： $m + n < 0$ .

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13、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a^{2} - b^{2} = \sqrt{2} a c - c^{2}$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $b = 5$ ， $\cos C = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，求c．

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14、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 ^{\circ}$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，则 $|3 \vec{a} - 2 \vec{b}| =$ .

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |{log}_{2} x|, 0 < x \leq 2 \\ x^{2} - 6 x + 9, x > 2 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = k$ 有四个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < k < 1$ B、 $2 x_{1} + x_{2} \geq 2 \sqrt{2}$ C、 $x_{1} x_{2} + x_{3} + x_{4} = 6$ D、 $3 < x_{1} + 2 x_{2} < \frac{9}{2}$

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16、若函数 $f (x) = sin (ω x + φ), (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的两条相邻对称轴距离为 $\frac{π}{2}$ ，且 $f (0) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、点 $(- \frac{π}{12}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 的对称中心 C、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, π)$ 上单调递增 D、直线 $x = \frac{π}{3}$ 是函数 $f (x)$ 图象的对称轴

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17、已知 $T_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积，若 $a_{n} > 0, a_{4} a_{6} = 9$ ，且 $a_{10} = 4, T_{14} =$ （）

A、 $6^{14}$ B、 $12^{7}$ C、 $12^{14}$ D、 $36^{7}$

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18、命题p： $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} - 6 x + 2 m \geq 0$ ，则“ $m \geq 1$ ”是“p为真命题”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + 2 a x + 2$ 有两个不同的极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $x_{2} - 1 < \frac{1}{x_{1} - 1}$ .

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20、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 2, a_{1} = 0, a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}$ .

(1)、证明： $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是等比数列.

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(3)、求数列 $\{n a_{n} + 2 n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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