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相关试卷

1、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ， $A, B$ 分别为椭圆 $E$ 的左、右顶点， $C, D$ 分别为椭圆 $E$ 的上、下顶点，四边形 $A B C D$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 且斜率不为 $0$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $M 、 N$ 两点，直线 $A M$ 与 $B N$ 的交点为 $P$ ．
①若直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ，求线段 $M N$ 的长度；
②试问 $∠ A P B$ 是否有最大值？如果有，求出 $∠ A P B$ 的最大值；如果没有，说明理由．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，棱 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面四边形 $A B C D$ 是矩形， $P A = A D = 6$ ，点 $N$ 为棱 $P D$ 的中点，点 $E$ 在棱 $A D$ 上， $A D = 3 A E$ .

(1)、求证： $P C ⊥ A N$ ；

(2)、已知平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线 $l$ 与直线 $B E$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，求二面角 $N - B E - D$ 的余弦值.

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，以 $O F$ （ $O$ 为坐标原点）为直径的圆与 $C$ 的渐近线的一个交点为 $P$ ，若 $| O P | = \sqrt{2} b$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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4、某中学2025年度青年教师讲题比赛分为文科、理科两个组别进行．文科组和理科组分别有4位和5位教师参赛．根据比赛规则，要求共评出一等奖4名，一等奖中的最高分设为特等奖，其余均为二等奖，且每个组至少有1名一等奖（包含一等奖中的特等奖）．则最终的可能比赛结果共有种．

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, (x \geq 0) \\ x + 2, (x < 0) \end{array}$ ，若 $f (a) = 4$ ，则 $a =$ .

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6、已知函数 $f (x) = a^{x} - \log_{b} x (a > 0$ 且 $a \neq 1, b > 0$ 且 $b \neq 1)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、当 $a = 4$ 时，若 $f (x) < 0$ 在区间 $(0, \frac{1}{2}]$ 恒成立，则实数 $b$ 的取值范围为 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ B、当 $a = b = e$ （e为自然对数的底数）时， $f (x)$ 的最小值为2 C、当 $a = b^{λ}, b = e$ （e为自然对数的底数）时，若 $f (x) \geq (1 - λ) x$ 恒成立，则实数 $λ$ 的最小值为 $\frac{1}{e}$ D、当 $a = b$ 时，若函数 $f (x)$ 有两个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为 $(1, e^{\frac{1}{e}})$

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7、 $△ A B C$ 的内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，且 $2 b \cos A = a \cos C + c \cos A$ ， $b = 4$ ，边 $B C$ 的中线 $A D = \sqrt{7}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 8$ C、 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ D、 $△ A B C$ 的外接圆的面积为 $4π$

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8、已知函数 $f (x) = \sin x + \cos x + a x (a \in R)$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, \sqrt{2}]$ C、 $[- \sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - \sqrt{2}]$

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9、球面上有三点 $A, B, C$ ，若 $A B = 6, B C = 8, A C = 10$ ，且球心到 $△ A B C$ 所在平面的距离等于球的半径的一半，则该球的表面积为（）

A、 $\frac{100 π}{3}$ B、 $100 π$ C、 $\frac{400 π}{3}$ D、 $400 π$

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10、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2, \vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-2 B、2 C、-4 D、4

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11、已知 $a \in R$ ，若 $a - 2 + (a - 3) i$ （ $i$ 为虚数单位）是实数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 3$ D、3

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12、已知集合 $A = \{x | x^{3} < 9\}$ ，集合 $B = N$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{- 1, - 2, 0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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13、已知抛物线 $E$ 的顶点在坐标原点 $O$ 处，对称轴为 $x$ 轴，且过点 $T (2, - 4)$ ， $A$ ， $B$ 是 $E$ 上两个动点．

(1)、求抛物线 $E$ 的标准方程；

(2)、已知 $C$ 是 $E$ 上一点，且 $E$ 的焦点 $F$ 为 $△ A B C$ 的重心，设 $C$ 的横坐标为 $t$ ，求 $t$ 的取值范围；

(3)、已知 $P$ 为直线 $O T$ 在第二象限内一点，直线 $P A$ ， $P B$ 与抛物线 $E$ 分别相切于 $A$ ， $B$ 两点，设 $P A$ ， $P B$ 与 $y$ 轴分别交于 $M$ ， $N$ 两点，证明：直线 $A N$ 与直线 $B M$ 的交点在定直线上．

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14、已知函数 $f (x) = 2 x - a ln (x + a)$ （ $a > 0$ ）．

(1)、设 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x - a$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < g (x)$ ，求 $a$ 的取值范围．

(2)、当 $a = 1$ 时，
①写出曲线 $y = f (x)$ 的两条相互垂直的切线方程，并说明理由；
②设 $F (x) = x f (x)$ ，数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{1} = \frac{1}{6}$ ， $e^{2 x_{n + 1}} = F (x_{n}) + 1$ ，证明： $e^{2 x_{n}} < 1 + \frac{1}{2^{n}}$ ．

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15、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $C D = 2 A B = 6$ ， $A D = 2$ ， $∠ A D C = 60 °$ ， $E$ ， $F$ 分别为线段 $A B$ ， $C D$ 上异于端点的一点， $E F ⊥ A B$ ，将梯形 $A E F D$ 沿 $E F$ 翻折至与梯形 $E B C F$ 垂直的位置，得到多面体 $A B E D C F$ ．

(1)、若 $B D ⊥ E C$ ，证明： $D F = F C$ ．

(2)、若 $C D //$ 平面 $A B F$ ，求直线 $B C$ 与平面 $A B F$ 所成角的正弦值．

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16、在制造业智能化的趋势下，某企业委托机构随机调查了200名传统质检员，以评估 $AI$ 质检系统对传统质检员数量的影响，部分数据如下表所示：
$AI$ 质检系统的应用情况
传统质检员数量
合计
减少
未减少
应用
70

应用
未应用

50
未应用
合计
100

合计

(1)、根据以上数据及小概率值 $α = 0.010$ 的独立性检验，能否认为 $AI$ 质检系统的应用与传统质检员数量减少有关？

(2)、该企业引入 $AI$ 质检系统后，将对质检员开展三轮专项培训，已知每轮达到“熟练操作 $AI$ 质检系统”水平（视为达标）的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，各轮结果相互独立，且规定两轮及以上达标者，方可操作该系统．
①某部门有48名质检员，规定培训通过（两轮及以上达标）者可获得500元奖金，求该部门为员工培训需准备的奖金总额的数学期望．
②调研发现，能操作 $AI$ 质检系统的质检员中，70%的人薪资涨幅超过15%；不能操作 $AI$ 质检系统的质检员中，30%的人薪资涨幅超过15%．若在质检员培训后，从中随机选取一人，其薪资涨幅超过15%，求该员工能操作 $AI$ 质检系统的概率．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $3 a - c = 3 b cos C$ ．

(1)、求 $sin B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ， $a + c = \sqrt{3} b$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18、已知函数 $f (x) = a \sqrt{4 x - 1} + e^{x} + b$ 有零点，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为．

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19、已知 $F$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点， $A, B$ 分别是椭圆 $E$ 的长轴与短轴的一个端点，若以 $A F$ 为直径的圆经过 $B F$ 的中点，则椭圆 $E$ 的离心率为．

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20、 $(1 + x^{2}) {(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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$AI$ 质检系统的应用情况	传统质检员数量		合计
$AI$ 质检系统的应用情况	减少	未减少	合计
应用	70		应用
未应用		50	未应用
合计	100		合计

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828