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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln x - a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = 1$ 时，设 $g (x) = \frac{1}{x} f (x)$ ，讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $f (x)$ 在 $[1, e^{3}]$ 上有且仅有2个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)、当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品，随机变量 $X$ 表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求 $X$ 的分布列及数学期望.

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3、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $c - 2 a \cos^{2} B = 2 b \cos A \cos B$ .

(1)、求B；

(2)、设D为边 $A C$ 的中点，若 $b = 4$ ， $B D = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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4、已知圆 $C$ 的方程为 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 25$ ，直线 $l$ 的方程为 $(m + 2) x + (1 - 2 m) y + 7 m - 6 = 0$ ，直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦中长度为整数的共有条.

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5、在五一小长假期间，要从6人中选若干人在3天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有种.

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6、若随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (6, \frac{1}{3})$ ， $Y = 3 X + 1$ ，则 $E (Y) =$ .

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7、我们把 $\cosh x$ 称为双曲余弦函数，其函数表达式为 $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，相应地双曲正弦函数的函数表达式为 $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ .若直线 $x = m$ 与双曲余弦函数曲线 $C_{1}$ 和双曲正弦函数曲线 $C_{2}$ 分别相交于点A，B，曲线 $C_{1}$ 在点A处的切线与曲线 $C_{2}$ 在点B处的切线相交于点P，则（）

A、 $y = \sinh x \cosh x$ 是奇函数 B、 $\cosh (x + y) = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y$ C、 $| B P |$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上随m的增大而减小，在区间 $(0, + \infty)$ 上随m的增大而增大 D、 $△ P A B$ 的面积为定值

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8、已知 $F (2, 0)$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，过点 $F$ 且倾斜角为135°的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 两点，则（）

A、 $p = 2$ B、 $y_{1} y_{2} = - 16$ C、 $|M N| = 16$ D、以 $M N$ 为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点

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9、下列说法正确的是（）

A、若回归方程为 $\hat{y} = 5 - 3 x$ ，则变量x与y负相关 B、运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、若散点图中所有点都在直线 $y = 0.92 x - 4.21$ 上，则相关系数 $r = 0.92$ D、若决定系数 $R^{2}$ 的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好

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10、对 $n \in N^{*}$ ，设 $x_{n}$ 是关于x的方程 $n x^{3} + 2 x - n = 0$ 的实数根，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{cases} 1, n = 1 \\ [(n + 1) x_{n}], n \geq 2, n \in N^{*} \end{cases}$ 其中符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $\frac{a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2025}}{1013} =$ （）

A、1013 B、1015 C、2025 D、2027

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11、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，若点 $E$ ， A，C， $D_{1}$ 都在球O的表面上，则球O的表面积为（）

A、11π B、12π C、36π D、44π

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12、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为10，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作斜率不为0的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左、右支分别交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $△ A B F_{2}$ 的内切圆与直线 $l$ 相切于点H，且 $|A H| = 8$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）.

A、 $x \pm 4 y = 0$ B、 $4 x \pm y = 0$ C、 $4 x \pm 3 y = 0$ D、 $3 x \pm 4 y = 0$

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13、已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（）

A、0.42 B、0.46 C、0.51 D、0.62

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14、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos α = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ 或 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$

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15、已知平面向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (4, 8)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、1 B、-1 C、-4 D、4

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16、已知复数 $z$ 满足 $z = 1 + 2 i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部是（）.

A、2. B、-2. C、2i. D、-2i.

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17、已知集合 $M = \{x \in N |x \leq 2\}$ ， $N = \{x |\frac{x + 6}{x - 2} \leq 0\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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18、华为Pura70的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的青睐.某手机店今年2～6月份Pura70手机的销量如下表所示：
月份 $x$
2
3
4
5
6
手机销量 $y$ （部）
42
53
66
$m$
109
用最小二乘法得到手机销量 $y$ （单位：部）关于月份 $x$ 的回归直线方程为 $\hat{y} = 16.1 x + 5.6$ ，且销量 $y$ 的方差 $s_{y}^{2} = 542$ .

(1)、求 $m$ ；

(2)、求相关系数 $r$ （精确到0.01），并据此判断手机销量 $y$ 与月份 $x$ 的相关性强弱（若 $r > 0.9$ ，则可判断 $y$ 与 $x$ 线性相关较强）；

(3)、求 $x = 4$ 时的残差 ${\hat{e}}_{3}$ ；已知 ${(y_{1} - {\hat{y}}_{1})}^{2} + {(y_{2} - {\hat{y}}_{2})}^{2} + {(y_{4} - {\hat{y}}_{4})}^{2} + {(y_{5} - {\hat{y}}_{5})}^{2} = 101.9$ ，求决定系数 $R^{2}$ （精确到0.01）.
附：回归系数 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，决定系数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ， $\sqrt{271} = 16.46$ .

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19、猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲 $A, B, C$ 歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示.
歌曲
$A$
$B$
$C$
猜对的概率
0.6
0.5
0.3
获得的公益基金额/元
1000
2000
3000

(1)、该嘉宾从 $A, B, C$ 三首歌曲中随机选择一首，求该嘉宾猜对歌名的概率.

(2)、若猜歌名的规则如下：按照 $A, B, C$ 的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额 $X$ 的分布列及均值.

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20、某科技公司2025年计划推出量子加密通信设备，该设备可实时保护数据传输，目标用户为学校、企业和自由开发者.该公司调查了不同用户对该设备的需求情况，得到数据如下（单位：个）：
学校
企业
自由开发者
有需求
$3 m$
170
$2 n$
无需求
$m$
120
$n$
已知调查了400个学校和150个自由开发者.

(1)、求 $m$ 和 $n$ 的值；

(2)、估计目标用户对该设备有需求的概率；

(3)、是否有 $99 %$ 的把握认为学校用户与非学校用户对该设备的需求情况有差异？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .
$P (χ^{2} \geq k)$
0.1
0.01
0.001
$k$
2.706
6.635
10.828

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歌曲	$A$	$B$	$C$
猜对的概率	0.6	0.5	0.3
获得的公益基金额/元	1000	2000	3000

	学校	企业	自由开发者
有需求	$3 m$	170	$2 n$
无需求	$m$	120	$n$

月份 $x$	2	3	4	5	6
手机销量 $y$ （部）	42	53	66	$m$	109

$P (χ^{2} \geq k)$	0.1	0.01	0.001
$k$	2.706	6.635	10.828