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相关试卷

1、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ 分别为棱 $A B$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $A B = 2$ .

(1)、证明： $D E //$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若三棱锥 $A - A_{1} D C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求二面角 $D - A_{1} C - A$ 的余弦值.

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2、“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话.某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动.在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， ……， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；

(2)、活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.
（i）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
（ii）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为 $\frac{22}{25}$ ，求n的值.

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3、已知向量 $\vec{m} = (sin x, sin (π - x))$ ， $\vec{n} = (2 \sqrt{3} sin x, 2 cos x)$ ，设 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - \sqrt{3}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $f (x_{0} - \frac{π}{6}) = \frac{14}{25}$ ， $x_{0} \in [\frac{3 π}{4}, π]$ ，求 $sin 2 x_{0}$ 的值.

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4、在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，圆 $O_{1}$ 的半径是2，母线 $P C = 2$ ，圆 $O_{2}$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ A C B = 60^{\circ}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 体积最大值为．

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5、若 $- 2 + i$ （ $i$ 为虚数单位）为方程 $x^{2} + m x + n = 0$ （ $m, n \in R$ ）的一个根，则 $n =$ .

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6、已知向量 $\vec{a} = (4, 3)$ ， $\vec{b} = (2, 4)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是．

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7、一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有数字1，2，3，…，9.从袋中任意抽取1张卡片，记“抽出的卡片号为1，4，7”为事件A，“抽出的卡片号小于7”为事件 $B$ ， “抽出的卡片号大于7”记为事件 $C$ .下列说法正确的是（）

A、事件A与事件 $C$ 是互斥事件 B、事件A与事件 $B$ 是互斥事件 C、事件A与事件 $B$ 相互独立 D、事件 $B$ 与事件 $C$ 是对立事件

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8、如图，在多面体 $E F - A B C D$ 中，四边形ABCD是边长为3的正方形， $E F ∥ A B$ ， E到平面ABCD的距离为3， $E F = \sqrt{6}$ ， $E A = E D = F B = F C$ .若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（）

A、 $19 π$ B、 $20 π$ C、 $21 π$ D、 $22 π$

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9、已知 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 是函数 $y = \log_{2} x$ 的图象上两个不同的点，则（）

A、 $2^{\frac{y_{1} + y_{2}}{2}} > \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ B、 $2^{\frac{y_{1} + y_{2}}{2}} < \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ C、 $2^{y_{1} + y_{2}} > \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ D、 $2^{y_{1} + y_{2}} < \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$

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10、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{3} + a_{8} + a_{13} = 12$ ， $a_{3} a_{8} a_{13} = 28$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式可以为（）

A、 $a_{n} = 4 n - 1$ B、 $a_{n} = 2 n + 1$ C、 $a_{n} = - \frac{3}{5} n + \frac{44}{5}$ D、 $a_{n} = \frac{3}{5} n - \frac{8}{5}$

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11、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别是AB、BC的中点，将 $△ A E D$ 、 $△ C F D$ 分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB.

(1)、求证： $E F ⊥ P B$ ；

(2)、点M是PD上一点，若直线MF与平面 $P E F$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{2}$ ，求二面角 $M - E F - D$ 的余弦值.

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12、在① $b (1 + \cos A) = \sqrt{3} a \sin B$ ， ② $\sqrt{3} b \cos \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ， ③ $a \sin C = c \cos (A - \frac{π}{6})$ 这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题.
$△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________（只需填序号）.

(1)、求角 $A$ ；

(2)、设 $D$ 是BC上一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ ， $| \vec{A D} | = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

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13、如图， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F / / A E$ ， $B F / /$ 平面 $A D E$ .

(1)、求证： $A D / / B C$ ；

(2)、若 $A D ⊥ A B$ ， $A B = A D = C F = 2$ ， $A E = B C = 4$ ，求三棱锥 $F - B C E$ 的体积.

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14、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创建者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第75百分位数；

(2)、现从以上各段中采用样本量比例分配的分层随机抽样再抽取20份答卷作为“典型答卷”进一步统计研究，若落在 $[80, 90)$ 的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是82和8，落在 $[90, 100]$ 的“典型答卷”的平均成绩与方差分别是96和1，据此估计这100份答卷中落在 $[80, 100]$ 的所有答卷的成绩的方差 $s^{2}$ .

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15、袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是 $\frac{1}{2}$ ，得到黄球或红球的概率是 $\frac{2}{3}$ .

(1)、从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？

(2)、从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？

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16、已知点 $A (1, 2)$ ， $B (2, 4)$ ， $C (4, k)$ .

(1)、若A，B，C三点共线，求 $| \vec{A C} |$ ；

(2)、若 $\vec{A B} ⊥ (\vec{A B} - \vec{A C})$ ，求 $\cos 〈 \vec{A B}, \vec{A C} 〉$ .

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17、正四面体 $P - A B C$ 外接球的体积为 $\sqrt{6} π$ ，则其内切球的表面积为.

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18、甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为.

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19、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，且 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ .

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20、一组数据6，7，8，a，12的平均数为7，则此组数据的极差为.

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