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相关试卷

1、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $C = 2 A, c = \frac{4}{3} a$ ．

(1)、求 $cos A$ ；

(2)、若 $a = 3$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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2、为了了解一片林木的生长情况，某科研机构成员随机检测了其中100棵树木的底部周长（单位： $cm)$ ，所得数据都在 $[80, 130]$ 内，按 $[80, 90), [90, 100), [100, 110), [110, 120), [120, 130]$ 分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、估计这片林木中树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)、若这片林木有10000棵树木，估计这片林木中底部周长在 $[90, 110)$ 内的树木的数量.

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3、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} = (3, 4), \vec{b} = (λ, - 8), |\vec{c}| = 4$ ．

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、若 $(2 \vec{a} + \vec{c}) ⊥ (\vec{a} + 10 \vec{c})$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 夹角的大小．

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4、已知点 $O$ 是 $△ A B C$ 的内心， $∠ A B C = 120^{\circ}, A C = 2$ ，则 $△ A O C$ 面积的最大值为.

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5、现用一枚甲型导弹和一枚乙型导弹各射击目标一次，则目标被击中的概率为 $\frac{14}{15}$ .已知一枚甲型导弹击中目标的概率是 $\frac{2}{3}$ ，且甲､乙两种导弹是否击中目标互不影响，则一枚乙型导弹击中目标的概率是.

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6、某中学高一年级有男生640人，女生480人.为了解该年级男､女学生的身高差异，应采用（从“简单随机”和“分层随机”中选一个最合适的填入）抽样.若样本容量为112，则应抽取的女生人数为.

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7、如图1，一圆形纸片的圆心为O，半径为 $8 \sqrt{3}$ ，以O为中心作正六边形 $A B C D E F$ ，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆O上.现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台.若该正六棱台的高为 $2 \sqrt{6}$ ，则下列结论正确的是（）

A、正六边形 $A B C D E F$ 的边长为4 B、该正六棱台的侧面积为 $54 \sqrt{3}$ C、该正六棱台的外接球半径为 $\frac{\sqrt{70}}{4}$ D、该正六棱台的体积为 $84 \sqrt{2}$

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8、在抛掷一个质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“出现小于5的奇数点数”，事件B表示“出现不小于5的点数”，则下列结论正确的是（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{6}$ B、 $P (A \bar{B}) = P (B)$ C、 $P (A \bar{B}) = 1 - P (\bar{A})$ D、事件 $A$ 或 $B$ 至少有一个发生的概率为 $\frac{2}{3}$

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9、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，下列结论正确的是（）

A、若 $A > B > C$ ，则 $0 < tan C < \sqrt{3}$ B、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ C、若 $A = 150^{\circ}, a = 2$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的半径为4 D、若 $A = C = 30^{\circ}, a = \sqrt{3}$ ，则 $b = 3$

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10、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $Q$ 为线段 $B C_{1}$ 上的动点，则 $P Q$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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11、已知方程 $x^{3} - 1 = 0$ 的根分别为 $x_{1} = 1, x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, x_{3} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则 ${(1 - \sqrt{3} i)}^{100} (- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) + {(\sqrt{2} + \sqrt{2} i)}^{100} =$ （）

A、0 B、2 C、 $2^{101}$ D、 $- 2^{101}$

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12、某商品3〜5月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示，则在这四个地区中该商品3〜5月份销量方差最小的为（）

A、甲地区 B、乙地区 C、丙地区 D、丁地区

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13、从标有数字1，2，3，4的四张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字相邻的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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14、已知小王4次月考的数学成绩分别为125，116，120，131，则这些成绩的第75百分位数是（）

A、122.5 B、125 C、128 D、131

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15、给出下列四个结论：
①经过两条相交直线，有且只有一个平面；
②经过两条平行直线，有且只有一个平面；
③经过三点，有且只有一个平面；
④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.
其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 2, c = 1, B = 60^{\circ}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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17、已知复数 $z$ 满足 $z i = 1 - 2 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $- 2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $2 - i$

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18、设函数 $f (x) = e^{x} - a \ln x$ ．

(1)、当 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 在点 $(1, e)$ 处的切线方程；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 2 a - a \ln a$ ；

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 及直线 $l : x - y + t = 0$ ．

(1)、若直线 $l$ 与椭圆没有公共点，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、 $P$ 为椭圆 $C$ 上一动点，若点 $P$ 到直线 $l$ 距离的最大值为 $6 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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20、随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数量/盒
$[100, 200)$
$[200, 300)$
$[300, 400)$
$[400, 500)$
$[500, 600]$
购物群数量/个
12
18
$m$
32
18

(1)、求实数 $m$ 的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；

(2)、假设所有购物群销售脐橙的数量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，其中 $μ$ 为（1）中的平均数， $σ^{2} = 14400$ .若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在 $[256, 616)$ （单位：盒）内的群为“ $A$ 级群”，销售数量小于256盒的购物群为“ $B$ 级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“ $A$ 级群”奖励100，对“ $B$ 级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X < μ + σ) \approx 0.683$ ， $P (μ - 2 σ \leq X < μ + 2 σ) \approx$ $0.954$ ， $P (μ - 3 σ \leq X < μ + 3 σ) \approx 0.997$ .

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脐橙数量/盒	$[100, 200)$	$[200, 300)$	$[300, 400)$	$[400, 500)$	$[500, 600]$
购物群数量/个	12	18	$m$	32	18