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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (1, y)$ ，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（）

A、 $\vec{a} // (\vec{a} + \vec{b})$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $| \vec{a} | + | \vec{b} | = 3$ D、 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 1$

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2、已知命题 $p : \forall x \geq 0$ ， $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ ； $q : \exists x \geq 0$ ， $x + \frac{1}{x + 1} \leq 1$ ．下列判断正确的是（）

A、p，q均为真命题 B、 $p$ 为真命题， $q$ 为假命题 C、 $p$ 为假命题， $q$ 为真命题 D、p，q均为假命题

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3、若复数 $z$ 满足 $i z = 1 - i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、 $- i$ C、1 D、i

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4、已知集合 $A = \{x| x > 2\}$ ， $B = \{x| \log_{2} x > \frac{1}{2}\}$ ，则（）

A、 $A \cup B = R$ B、 $A \cap B = \emptyset$ C、 $B \subseteq A$ D、 $A \subseteq B$

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5、在 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{9}$ 的展开式中，常数项为.

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6、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是边长为2的等边三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $B C / / A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = B C = 1$ ．

(1)、取线段 $P A$ 中点 $M$ ，连接 $B M$ ，判断直线 $B M$ 与平面 $P C D$ 是否平行并说明理由；

(2)、求 $B$ 到平面 $P C D$ 的距离；

(3)、线段 $P D$ 上是否存在一点 $E$ ，使得平面 $E A C$ 与平面 $D A C$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{P E}{P D}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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7、已知直线 $l_{1}$ ： $3 x + 4 y - 2 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $2 x + y + 2 = 0$ 的交点为 $P$ .

(1)、求过点 $P$ 且平行于直线 $l_{3}$ ： $x - 2 y - 1 = 0$ 的直线方程；

(2)、求过点 $P$ 且垂直于直线 $l_{3}$ ： $x - 2 y - 1 = 0$ 直线方程；

(3)、求平行于 $3 x + 4 y - 2 = 0$ 且与其距离为3的直线方程.

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8、已知在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为正方体内及表面上一点，且 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A D_{1}}$ ，其中 $m \in [0, 1]$ ， $n \in [0, 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $n = \frac{1}{2}$ 时，对任意 $m \in [0, 1]$ ， $A D_{1} ⊥ C P$ 恒成立 B、当 $m = 0$ 时， $B_{1} P$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的最大角的正弦值为 $\frac{1}{3}$ C、当 $m = 0$ 时，线段 $A D_{1}$ 上的点与线段 $B D$ 上的点的距离最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、当 $m + 2 n = 1$ 时，存在唯一的点 $P$ ，使得平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$

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9、直线 $x + 2 y + 3 = 0$ 关于 $y$ 轴对称的直线方程是（）

A、 $x + 2 y - 3 = 0$ B、 $x - 2 y + 3 = 0$ C、 $x - 2 y - 3 = 0$ D、 $3 x + 2 y - 1 = 0$

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10、已知空间向量 $\vec{A B} = (0, 1, 0)$ ， $\vec{A C} = (- 1, 1 - 1)$ ，则B点到直线 $A C$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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11、已知平面直角坐标系内两点 $A (1, 2)$ ， $B (- 2, 3)$ ，则过点 $A$ 且与直线 $A B$ 垂直的直线 $l$ 的方程为（）

A、 $3 x - y - 1 = 0$ B、 $3 x - y - 2 = 0$ C、 $3 x + y - 5 = 0$ D、 $3 y - x - 5 = 0$

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12、某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、若采用分层抽样的方法，从原始成绩在 $[50, 60)$ 和 $[60, 70)$ 内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在 $[50, 60)$ 内的概率；

(3)、已知落在 $[80, 90)$ 的平均成绩 $\bar{x} = 84$ ，方差 $s_{1}^{2} = 6$ ，落在 $[90, 100]$ 的平均成绩 $\bar{y} = 98$ ，方差 $s_{2}^{2} = 12$ ，求落在 $[80, 100]$ 的平均成绩 $\bar{z}$ ，并估计落在 $[80, 100]$ 的成绩的方差 $s^{2}$ .

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13、已知函数 $f (x) = x^{3} - x + 1$ ，则（）

A、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1$ B、 $f (x)$ 有两个极值点 C、点 $(0, 1)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、 $f (x)$ 有两个零点

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14、已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ ，过 $R (2, 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于 $P, Q$ 两点.

(1)、若 $|P Q| = 2 \sqrt{10}$ ，求直线 $l$ 的方程，

(2)、设过点 $R$ 且垂直于直线 $l$ 的直线 $n$ 与双曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点，其中 $M$ 在双曲线的右支上.
（i）设 $△ P M N$ 和 $△ Q M N$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $S_{1} + S_{2}$ 的取值范围；
（ii）若 $M$ 关于原点对称的点为 $T$ ，证明： $M$ 为 $△ P Q N$ 的垂心，且 $P, Q, N, T$ 四点共圆.

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15、短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.

(1)、依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人
游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
北方游客
合计

(2)、为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.
（i）求经过 $i$ 次传递后球回到甲的概率；
（ii）记前 $m$ 次传递中球传到乙的次数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ； $E (\sum_{i = 1}^{m} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{m} E (X_{i})$
附表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$χ_{a}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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16、已知函数 $f (x) = ln (a x) + (a - 1) x - e^{x}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求证： $f (x) < - 2$ ；

(2)、若 $f (x)$ 存在两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、由四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 截去三棱锥 $D_{1} - A_{1} D C_{1}$ 后得到如图所示的几何体，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A C = 4, B D = 2, O$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点， $B_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $B_{1} O$ $/ /$ 平面 $A_{1} D C_{1}$ ；

(2)、若二面角 $O - A_{1} C_{1} - D$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，求平面 $A_{1} D C_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的大小.

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b (cos C + 1) = c (2 - cos B)$ .

(1)、证明： $a + b = 2 c$ ；

(2)、若 $c = 5, cos C = \frac{9}{16}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 3) = 0.66$ ，则 $P (X < 1) =$ .

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20、某小球可以看作一个质点，其相对于地面的高度 $h$ （单位：m）与时间 $t$ （单位：s）存在函数关系 $h (t) = - 2 t^{2} + 6 t + 9$ ，则该小球在 $t = 2 s$ 时的瞬时速度为m/s.

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游客	短视频		合计
游客	收看	未看	合计
南方游客
北方游客
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$χ_{a}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828