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1、函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (ω x + φ) (0 < ω \leq 2, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的表达式可以写成 $f (x) = \sqrt{2} cos (2 x + \frac{5 π}{4})$ B、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{3 π}{8}$ 个单位长度后得到的新函数是奇函数 C、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{5 π}{8}, \frac{7 π}{8}]$ 上单调递增 D、若方程 $f (x) = 1$ 在 $(0, m)$ 上有且只有6个根，则 $m \in (\frac{5 π}{2}, \frac{13 π}{4}]$

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2、已知 $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ ，则 $\frac{S_{△ B C D}}{S_{△ A B D}} = \frac{1}{6}$ B、若 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形 C、若 $\vec{D A} \cdot \vec{D B} = \vec{D B} \cdot \vec{D C} = \vec{D C} \cdot \vec{D A}$ ，则 $D$ 为 $△ A B C$ 的垂心 D、若 $\vec{A D} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}| sin B} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}| sin C}) (λ \in R)$ ，则点 $D$ 的轨迹经过 $△ A B C$ 的重心

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3、对于非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，给出下列结论，其中正确的有（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ ； B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ ； C、 $|\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{a} - \vec{c}| \leq |\vec{b} - \vec{c}|$ ； D、 ${|\vec{a} - \vec{b}|}^{2} + {|\vec{a} + \vec{b}|}^{2} = 2 {\vec{a}}^{2} + 2 {\vec{b}}^{2}$

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4、奔驰定理：已知 $O$ 是 $△ A B C$ 内的一点，若 $△ B O C$ 、 $△ A O C$ 、 $△ A O B$ 的面积分别记为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则 $S_{1} \cdot \overset{⃑}{O A} + S_{2} \cdot \overset{⃑}{O B} + S_{3} \cdot \overset{⃑}{O C} = \overset{⃑}{0}$ ． “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 $logo$ 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 $O$ 是 $△ A B C$ 的垂心，且 $\overset{⃑}{O A} + 2 \overset{⃑}{O B} + 4 \overset{⃑}{O C} = \overset{⃑}{0}$ ，则 $\cos B =$ ( )

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5、满足 $A = 60^{\circ}, a = \sqrt{10}, b = 4$ （其中 $a, b$ 分别为角 $A, B$ 所对的边）的三角形有（）．

A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个

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6、已知 $\cos (α - β) = 3 \cos (α + β)$ ，则 $\tan α \cdot \tan β$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是两个非零向量，同时满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $90 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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8、下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、 $2 sin 15^{\circ} cos 15^{\circ}$ B、 ${cos}^{2} 15^{\circ} - {sin}^{2} 15^{\circ}$ C、 $2 \sin^{2} 15^{\circ}$ D、 $\sin^{2} 15^{\circ} + \cos^{2} 15^{\circ}$

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9、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1), \vec{b} = (- 3, - 4)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 等于（）

A、 $(- 1, 6)$ B、 $(1, 6)$ C、 $(- 1, - 2)$ D、 $(1, - 2)$

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10、已知抛物线 $Γ : y^{2} = 4 x$ ，焦点为 $F$ ，过 $P (4, 4)$ 作两条关于直线 $x = 4$ 对称的直线分别交 $Γ$ 于 $A, B$ 两点．

(1)、判断直线 $A B$ 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

(2)、若 $C (x_{1}, y_{1}), D (x_{2}, y_{2}), E (x_{3}, y_{3})$ 三点在抛物线 $Γ$ 上，且满足 $\vec{F C} + \vec{F D} + \vec{F E} = 0$ ，证明 $△ C D E$ 三个顶点的横坐标均小于2．

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11、在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, B C = 2 A B = 2 A D = 4, A B ⊥ B C$ ，点 $E$ 为 $A D$ 中点，沿 $B D$ 将 $△ A B D$ 折起，使 $B E ⊥ C D$ ，

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求二面角 $E - B C - D$ 的余弦值，

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12、设 $\vec{O A} = (1, 0), \vec{O B} = (0, 2)$ ，对满足条件 $|\vec{O C} - \vec{O A} - \vec{O B}| = 2 |\vec{O A} - \vec{O B}|$ 的点 $C (x, y), |x - 2 y + m| + |x - 2 y - 7|$ 的值与 $x, y$ 无关，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 7)$ B、 $[13, + \infty)$ C、 $(13, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 7) \cup [13, + \infty)$

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13、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E, F, G, H$ 分别为 $B B_{1}, C C_{1}, A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A、 $E, F, G, H$ 四点共面 B、 $E F / / G H$ C、 $E G, F H, A A_{1}$ 三线共点 D、 $∠ E G B_{1} = ∠ F H C_{1}$

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14、在① $\sqrt{3} a - b \sin C = \sqrt{3} c \cos B$ ， ② $\cos^{2} \frac{B}{2} = \frac{2 a - b + 2 c}{4 c}$ ， ③ $\sin^{2} A - \cos^{2} B + \cos^{2} C = \sin A \sin B$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.
在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______.

(1)、求角C；

(2)、若 $c = 1$ ， $△ A B C$ 的面积 $S \in (0, \frac{\sqrt{3}}{12})$ ，求 $△ A B C$ 的周长l的取值范围；

(3)、若 $\sqrt{2} c = \sqrt{3} b$ ， $\vec{C A} = \sqrt{3} \vec{C D}$ ，求 $\tan ∠ A B D$ .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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15、单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - \frac{2}{3}$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值：

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $k$ 的取值范围.

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16、在边长为 $6$ 的正方形 $A B C D$ 中， $\vec{D E} = 2 \vec{E C} ， M$ 是 $B C$ 中点，则 $\vec{M E} \cdot \vec{B D} =$ ；若点 $P$ 在线段 $B D$ 上运动，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P M}$ 的最小值是.

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17、已知 $|\vec{a}| = 6$ ， $\vec{b} = (3, 0)$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是.

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18、在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(2, 1)$ ，则 $i \cdot z =$ ．

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19、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且 $∠ C = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ .则下列结论正确的是（）

A、 $b \cos A + a \cos B = 2$ B、 $\frac{b + 2 c}{\sin B + 2 \sin C} = \frac{2 b + c}{2 \sin B + \sin C} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\vec{A C} \cdot \vec{A B}$ 的取值范围为 $(0, 4 \sqrt{3})$ D、若 $(\frac{\vec{C A}}{|\vec{C A}|} + \frac{\vec{C B}}{|\vec{C B}|}) \cdot \vec{A B} = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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20、下列命题正确的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = - 3 \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平行向量 B、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则 $⟨\vec{A B}, \vec{B C}⟩ = \frac{2π}{3}$ C、模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等 D、已知平面内的一组基底 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ ，则向量 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 也能作为一组基底

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