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相关试卷

1、若函数 $f (x) = cos x - a x$ 在定义域内单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是．

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2、在 ${(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为

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3、已知函数 $f (x) = sin (2 ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $φ = \frac{π}{6}$ B、 $ω = 2$ C、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数 D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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4、下列说法正确的是（　　）

A、若向量 $\vec{a} = (m ， - 2) ， \vec{b} = (m + 1 ， 1)$ ，则“ $m = - 2$ ”是“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的充分不必要条件 B、命题“ $\forall x > 0$ ，都有 $e^{x} > x + 1$ ”的否定是“ $\exists x > 0$ ，使得 $e^{x} \leq x + 1$ ” C、若 $x > 3$ ，则 $x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值是5 D、函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = f (x - 1)$ ，且 $f (- 1) = 5$ ，则 $f (3) = 5$

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5、下列命题中，真命题有（　　）

A、数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的70%分位数是8.5 B、若随机变量 $X ~ B (6, \frac{1}{3})$ ，则 $D (X) = \frac{4}{3}$ C、已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ ；若 $\hat{b} = 2 ， \bar{x} = 1 ， \bar{y} = 3$ ，则 $\hat{a} = 1$ ； D、若 $P (A |B) = P (B |A) = \frac{1}{2} ， P (A) = \frac{1}{3}$ ，则 $P (B) = \frac{1}{6}$

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6、已知函数 $f (x) = e^{- |x|}$ ，则使得 $f (2 a) < f (a + 1)$ 成立的正实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{3}, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(0, 1)$

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7、3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是（）

A、24 B、48 C、96 D、120

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8、 $a = \frac{1}{2}, b = \sin \frac{1}{2}, c = \log_{2} \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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9、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　）

A、5 B、6 C、 $\frac{17}{16}$ D、4 $\sqrt{2}$

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10、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $N$ 是 $B C$ 的中点，设 $\vec{A A_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A_{1} N}$ 等于（）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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11、把满足任意 $x, y \in R$ 总有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ 的函数称为和弦型函数.

(1)、已知 $f (x)$ 为和弦型函数且 $f (1) = \frac{5}{4}$ ，求 $f (0), f (2)$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，定义数列： $a_{n} = 2 f (n + 1) - f (n) (n \in N_{+})$ ，求 ${log}_{2} \frac{a_{1}}{3} + {log}_{2} \frac{a_{2}}{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot {log}_{2} \frac{a_{2024}}{3}$ 的值；

(3)、若 $g (x)$ 为和弦型函数且对任意非零实数 $t$ ，总有 $g (t) > 1$ ．设有理数 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $|x_{2}| > |x_{1}|$ ，判断 $g (x_{2})$ 与 $g (x_{1})$ 的大小关系，并给出证明．

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12、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{6} = 0$ ， $S_{12} = 6$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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13、已知 $△ A B C$ ， $A (- 2, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ，第三个顶点C在曲线 $y = 3 x^{2} - 1$ 上移动，则 $△ A B C$ 的重心的轨迹方程是．

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14、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的前n项和分别为 $A_{n}$ ， $B_{n}$ ，且 $\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{2 n - 2}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ ．

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15、若方程 $x^{2} + y^{2} + 4 m x - 2 y + 5 m = 0$ 表示的曲线为圆，则实数 $m$ 的值可以为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{4} = 40$ ， $a_{3} - a_{5} = 30$ ，则（）

A、公比为 $\frac{1}{4}$ B、 $a_{2023} = 16 a_{2025}$ C、当 $n \geq 6$ 时， $a_{n} < \frac{1}{2}$ D、 $\{a_{n}\}$ 的前10项积为1

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17、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} > 0$ ，若 $S_{5} = 5$ ， $S_{15} = 105$ ，则 $S_{20} =$ （）

A、550 B、520 C、450 D、425

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18、已知圆 $C$ 过点 $A (2, 6)$ ， $B (- 1, 3)$ ，且圆心在直线 $y = x + 1$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、设点 $D$ 在圆上运动，点 $E (3, 2)$ ，记 $M$ 为过 $D$ ， $E$ 两点的弦的中点，求 $M$ 的轨迹方程；

(3)、在（2）的条件下，若直线 $D E$ 与直线 $l : y = x - 2$ 交于点 $N$ ，证明： $|E M| \cdot |E N|$ 恒为定值.

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19、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ，点E在棱AB上移动．

(1)、求证： $D_{1} B ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、当点E为棱AB的中点时，求点B₁到平面ECD₁的距离；

(3)、当AE为何值时，平面D₁EC与平面AECD所成角为 $\frac{π}{4}$ ？

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20、如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = 3$ ， $B P = 3$ ， $C F = \frac{1}{3} C P$ ， $D E = \frac{1}{3} D A$ .

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B P$ ；

(2)、求异面直线 $E F$ 与 $P D$ 所成角的余弦值.

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