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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 为该椭圆C的左、右焦点．M为椭圆C上任意一点， $△ M F_{1} F_{2}$ 的最大面积为1．点H在圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = \frac{2}{3}$ 上运动，过H点作圆 $C_{1}$ 的切线交椭圆C于A、B两点．四边形 $D E S T$ 是椭圆C的外切矩形．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、（ⅰ）设点D运动轨迹为 $C_{2}$ ，求 $C_{2}$ 的方程；
（ⅱ）延长 $O A$ 、 $O B$ 分别交轨迹 $C_{2}$ 于P、Q两点，求 $△ O P Q$ 的面积．

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2、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 中， $A B = A P$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2$ ， $A C = \sqrt{10}$ ， $A D = 4$ ， $∠ A D C =45 °$ ．

(1)、若E为 $P B$ 的中点，求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、若三角形 $A C D$ 是钝角三角形，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成的角的余弦值．

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3、甲盒子中有以下除颜色和序号外完全相同的六个球：红球（1号），红球（2号），蓝球（3号），蓝球（4号），白球（5号），白球（6号）．

(1)、从甲盒中摸出一球，摸出红色球和摸出偶数序号球这两事件相互独立吗，回答并给出理由；

(2)、现有摸球游戏，从甲盒摸出两个球，若颜色不同，记录分数为其序号之和，若颜色相同，记录分数为10，设分数为随机变量X，求X的分布列和均值．并求分数不低于9的条件下，两球颜色相同的概率．

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4、已知 $f (x) = x + \ln x$ ， $g (x) = m x^{2} + (2 m + 3) x + 1$ ， $m \in R$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 有且仅有1个零点；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(1, 1)$ 处的切线与 $g (x)$ 只有一个公共点，求实数m的值．

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5、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $F_{1}$ 关于渐近线的对称点为M且点M位于双曲线上，则双曲线的离心率是，若 $△ M F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心横坐标是2，则圆的半径是．

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6、已知 $f (x) = x^{2} - \sin 2 x$ ，且 $\lim_{h \to 0} \frac{f (\frac{π}{2} + h) - f (\frac{π}{2})}{2 h} =$ ．

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7、 $C_{n}^{n} - C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} - \dots + {(- 1)}^{n} C_{n}^{0}$ 的值为．

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8、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形，若点M在四边形 $A B C D$ 内（包含边界）运动，N为 $P D$ 的中点， $P D = 4$ ， $∠ P D A = ∠ P D C = \frac{π}{3}$ ，则（）．

A、当M为 $A D$ 的中点时，异面直线 $M N$ 与 $P C$ 所成角为 $\frac{π}{2}$ B、当 $M N ∥$ 平面 $P B C$ 时，点M的轨迹长度为 $2 \sqrt{3}$ C、当 $M N$ 与平面 $A B C D$ 所成的角是 $\frac{π}{4}$ 时，点M到 $A B$ 的距离可能为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、点Q是四棱锥外接球上的一点，则 $\vec{Q P} \cdot \vec{Q D}$ 的最大值是 $8 + 8 \sqrt{2}$

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9、已知复数 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则（）．

A、 $|z| = 1$ B、 $z^{2} = \bar{z}$ C、 $1 + z + z^{2} = 2$ D、 $z$ 是方程 $x^{3} = 1$ 的根

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10、已知正实数a，b满足 $\sin a + e^{a} = b + e^{b}$ ，则（）．

A、 $a \leq b$ B、 $a^{- \frac{1}{2}} > b^{- \frac{1}{2}}$ C、 $a > \ln b$ D、 $b > e^{a}$

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11、设抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若 $∠ P Q F = 30 °$ ，则 $|P Q| =$ （）．

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、已知直线 $l : m x + y - m - 1 = 0$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于M、N两点，则 $|\vec{C M} + \vec{C N}|$ 的最大值为（）．

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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13、设直线 $b$ 与平面 $α$ 相交但是不垂直，则下列说法中正确的是（）

A、平面 $α$ 内的直线与直线 $b$ 都不垂直 B、过直线 $b$ 的平面与平面 $α$ 都不垂直 C、与直线 $b$ 垂直的直线可能与平面 $α$ 垂直 D、与直线 $b$ 平行的平面可能与平面 $α$ 垂直

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14、 $\tan (α + \frac{π}{4}) = - \frac{3}{2}$ ，则 $\sin (2 α + π)$ 的值为（）．

A、 $- \frac{12}{13}$ B、 $- \frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，并且满足 $S_{3} = 15$ ， $S_{7} = 77$ ，则 $a_{6}$ 为（）．

A、17 B、15 C、11 D、9

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16、已知集合 $A = \{x |\lg x \leq 0\}$ ， $B = \{x |10^{x} \leq 10\}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、设 $△ A B C$ 的外接圆半径为R，内切圆半径为r，且内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，定义 $f = \frac{R}{r}$ 的值为 $△ A B C$ 的“径比”．

(1)、若 $△ A B C$ 为等腰直角三角形，求 $△ A B C$ 的径比f；

(2)、证明： $f = \frac{sin A + sin B + sin C}{2 sin A sin B sin C}$ ；

(3)、若 $cos 2 A + cos 2 B = 1 + cos 2 C$ ，求f的最值．

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18、设函数 $f (x) = R cos (ω x - φ) (R > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ ，其部分图象与坐标轴交点如图所示．

(1)、若 $R = 1$ ， $ω = π$ ， $φ = \frac{π}{4}$ ，求 $tan ∠ A B C$ ；

(2)、在 $△ A B C$ 中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a^{2} - 2 a b cos B = {(b - c)}^{2}$ ．
（ⅰ）证明： $△ A B C$ 是等腰三角形；
（ⅱ）若 $b = sin B$ ，求当 $f (x)$ 的最小正周期为多少时， $△ A B C$ 的中线BD能取得最大值．

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19、已知在面积为S的 $△ A B C$ 中 ${\vec{B C}}^{2} = \vec{A B} \cdot \vec{A C}$ ．

(1)、证明： $A B^{2} + A C^{2} = 3 B C^{2}$ ；

(2)、若 $B C = 2$ ，求S的最大值．

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20、如图，已知圆锥OP的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径， $A B = P O = 2$ ，点C是底面圆周上异于A，B的一点，D是PB的中点，空间中一点Q满足 $A P / / C Q$ ．

(1)、证明： $O D / /$ 平面PQC；

(2)、设球M与圆锥的侧面和底面均相切，求球M的半径；

(3)、证明：“ $P Q / /$ 平面ABC”是“ $A P = C Q$ ”的充要条件．

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