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相关试卷

1、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点是 $(\sqrt{5}, 0)$ ，渐近线方程是 $y = \pm \frac{1}{2} x$

(1)、求双曲线的方程；

(2)、点 $M$ 为 $y$ 轴上一点，点 $A$ 是双曲线的右顶点，点 $P$ 是双曲线上异于顶点的一点，若 $△ M A P$ 是正三角形，求点 $M$ 的坐标.

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2、在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1}$ ， $∠ A_{1} A B = 60 °$ ，且 $C A = C B = C A_{1}$ .

(1)、证明： $C B ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、若 $A B = A C = 2$ ，求直线 $A B_{1}$ 与平面 $C B B_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值.

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3、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的的部分图象如图，且经过点 $S (\frac{π}{3}, 1)$ ， $T (\frac{4 π}{3}, - 1)$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $f (A) = f (B)$ ， $a = 2$ ， $b = 3$ ，求 $f (A)$ 的值.

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4、已知球 $O$ 的半径等于4， $O_{1}$ ， $O_{2}$ 是球 $O$ 的某内接圆柱的上下底面圆心， $O_{1} O_{2} = 2$ ， $P Q$ 是球 $O$ 的直径（点 $O_{1}$ 在 $P O$ 上，点 $O_{2}$ 在 $O Q$ 上）， $M$ 为 $O P$ 的中点，若四边形 $A B C D$ 是圆 $O_{1}$ 的内接矩形， $A E$ ， $B F$ 是圆柱的母线，且平面 $M C D ⊥$ 平面 $M E F$ ，则 $A B =$ .

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5、若直线 $m x - y + 2 m - 6 = 0$ 是曲线 $y = x^{3} - x$ 的切线，则 $m$ 的值可以是.（写出一个值即可）

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6、已知角 $θ$ 的终边经过点 $P (1, 1)$ ，则 $sin θ \cdot cos θ =$ .

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7、已知定义域是 $R$ 的函数 $f (x)$ 不恒为0，满足 $f (x + y) = f (x) f (y) - f (k - x) f (k - y)$ ，且 $f (- k) = f (k)$ 则（）

A、 $f (k) = 0$ B、 $f (0) = 1$ C、 $x = k$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 D、 $f (k) + f (2 k) + f (3 k) + \cdot \cdot \cdot + f (2025 k) = 0$

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8、已知 $A$ ， $B$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点和上顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆的左、右焦点， $P$ 为椭圆上一点，圆 $T$ 的圆心 $T$ 在第一象限，且与 $y$ 轴相切于点 $B$ ，直线 $A B$ 与圆 $T$ 的另一个交点为 $D$ ，直线 $O T$ （ $O$ 为坐标原点）垂直于直线 $A B$ ，记椭圆的离心率为 $e$ ，则（）

A、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ 且 $P F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，则 $e = \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、若 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2}$ 最大值为 $60 °$ C、 $O D$ 是圆 $T$ 的切线 D、若 $D$ 为线段 $A B$ 的中点，则 $e = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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9、随机变量 $X \sim B (5, p)$ ，且 $P (X \geq 1) = \frac{31}{32}$ ，则（）

A、 $p = \frac{1}{2}$ B、 $E (X) = \frac{5}{2}$ C、 $D (X) = \frac{3}{2}$ D、 $P (X = 2) = \frac{1}{4}$

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10、已知函数 $f (x) = a^{x} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2} - x - 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $(0, 1)$ 上有唯一零点，则 $a$ 的范围为（）

A、 $\frac{14}{9} < a < e$ B、 $2 \leq a < e$ C、 $1 < a \leq \frac{14}{9}$ D、 $a \geq e$

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11、甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为 $p$ ，乙先走的情况下，甲胜的概率为 $\frac{1}{2} p$ ，则甲获胜的概率是（）

A、 $1 - \frac{3}{8} p$ B、 $\frac{5}{8} p$ C、 $1 - \frac{1}{3} p$ D、 $\frac{2}{3} p$

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12、函数 $f (x) = \frac{cos 2 x}{e^{x} + e^{- x}}$ 的部分图象是（）

A、 B、 C、 D、

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13、已知向量 $\vec{a} = (cos θ, sin θ)$ 与向量 $\vec{b} = (- 1, 1)$ 垂直，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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14、以边长为1的正方形的一条边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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15、命题“ $\forall x \in R$ ， $x + 1 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 \geq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 > 0$

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16、设 $z = 1 + i$ ，则 $\frac{1}{1 - z} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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17、已知集合 $A = \{x |2 < x^{2} < 10\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 2, 3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{3\}$

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18、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\frac{1 - \sin A}{\cos A} = \frac{\sin B}{\cos B}$ ．

(1)、求 $A + 2 B$ 的值；

(2)、若 $a^{2} + 2 c^{2} \geq λ b^{2}$ ，求 $λ$ 的最大值．

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19、已知 $f (x) = \sqrt{3} \cos 2 x + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + x) \sin (π - x)$ ， $x \in R$ ，
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $f (A) = - \sqrt{3}$ ， $a = 4$ ，求 $B C$ 边上的高的最大值．

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20、某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m.

(1)、已知制作这种油罐的材料单价为1.5万元/m² ，则制作一个油罐所需费用为多少万元？

(2)、已知该油罐的储油量为0.95吨/m³ ，则一个油罐可储存多少吨油？

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