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相关试卷

1、有 $n$ 个编号分别是 $1, 2, \dots, n$ 的不透明的罐子里装有除颜色外完全相同的糖果.第1个罐子中装有3颗红色糖果和2颗绿色糖果，其余罐子中都装有2颗红色糖果和2颗绿色糖果.现先从第1个罐子中随机取出一颗糖果放入第2个罐子，再从第2个罐子中随机取出一颗糖果放入第3个罐子，依此类推，直至从第 $n$ 个罐子中随机取出一颗糖果.设事件 $A_{i}$ 表示从第 $i (i = 1, 2, \dots, n)$ 个罐子中取出红色糖果，记事件 $A_{i}$ 发生的概率为 $P (A_{i})$ .

(1)、求 $P (A_{1})$ 的值；

(2)、求 $P (A_{2})$ 的值，并证明：当 $n \geq 2$ 时， $5 P (A_{n}) = P (A_{n - 1}) + 2$ ；

(3)、求 $P (A_{n})$ （用含 $n$ 的式子表达）.

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2、在三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b sin A + \sqrt{3} c = \sqrt{3} b cos A$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{6}$ ，设 $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $B D = 2$ ，求三角形 $A B C$ 的周长.

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F, M, N$ 为 $C$ 上两个不同的点， $\vec{M F} + \vec{N F} = 2 \vec{O F}$ （ $O$ 为坐标原点）， $\vec{M F} \cdot \vec{N F} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} S_{△ M N F} = \frac{1}{2} {|\vec{O F}|}^{2}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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4、已知圆锥的底面半径为6，体积为 $96 π$ ，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，若截得的圆台体积为 $84 π$ ，则该圆台的表面积为．

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5、有一散点图如图所示，在5个 $(x, y)$ 数据中去掉 $D (3, 10)$ 后，下列说法错误的是（）

A、残差平方和变小 B、相关系数r变大 C、决定系数 $R^{2}$ 变大 D、解释变量x与响应变量y的相关性变弱

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{3} + 2 x^{2} + \frac{21}{20} x, x \leq 0 \\ \frac{\ln x}{x}, x > 0 \end{cases}$ ， $g (x) = f (x) - 2 a x$ ，若函数 $g (x)$ 有5个零点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{20}, \frac{1}{4 e})$ B、 $(\frac{1}{20}, \frac{1}{2 e})$ C、 $(\frac{1}{20}, \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{40}, \frac{1}{4e})$

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7、若函数 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ ，则称f（x）为数列 $\{a_{n}\}$ 的“伴生函数”，已知数列 $\{a_{n}\}$ 的“伴生函数”为 $f (x) = 2 x + 1$ ， $a_{1} = 1$ ，则数列 $\{n a_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n} =$ （）

A、 $n \cdot 2^{n} + 2 - \frac{n (n + 1)}{2}$ B、 $n \cdot 2^{n + 1} + 2 - \frac{n (n + 1)}{2}$ C、 $(n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2 - \frac{n (n + 1)}{2}$ D、 $(n - 1) \cdot 2^{n} + 2 - \frac{n (n + 1)}{2}$

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8、已知 $A, B, C$ 是球 $O$ 的球面上的三个点，且 $∠ A C B = 120 °, A B = \sqrt{3}, A C + B C = 2$ .若三棱锥 $O - A B C$ 的体积是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $36 π$ B、 $24 π$ C、 $12 π$ D、 $8 π$

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9、若将函数 $f (x) = \cos x + \sqrt{3} \sin x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ 的图象，则函数 $g (x)$ 图象的对称轴可能是（）

A、直线 $x = \frac{π}{2}$ B、直线 $x = \frac{π}{4}$ C、直线 $x = \frac{π}{12}$ D、直线 $x = - \frac{π}{6}$

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10、在 $△ A B C$ 中，点D在BC上，且满足 $|B D| = \frac{1}{4} |B C|$ ，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足 $\vec{B E} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $4 + 2 \sqrt{3}$ D、 $9 + 4 \sqrt{2}$

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11、已知 $a = {0.1}^{- 0.01}, b = {log}_{0.5} 0.6, c = {log}_{2} \frac{7}{10}$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < c < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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12、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = i$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、设集合 $A = \{(x ， y) |y = x\}$ ， $B = \{(x ， y) |x^{2} + y^{2} = 1\}$ ，则 $A \cap B$ 中元素的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、不确定

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14、已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且 $x \leq 0$ 时， $f (x) = e^{x} - 1$ ，则 $f (x)$ 的值域是

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15、由边长为 $1$ ， $1$ ， $\sqrt{2}$ 的等腰直角三角形出发，用两种方法构造新的直角三角形：
①以原三角形的短直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边 $;$
②以原三角形的长直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边．
设 $k_{0} = (1; 1; \sqrt{2})$ ，由方法①，②均可得到 $k_{1} = (1; \sqrt{2}; \sqrt{3})$ ，接下来继续使用上述两种方法，得到三角形序列 ${k_{n} | k_{n} = (a_{n}; b_{n}; c_{n})} ($ 其中 $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ 是直角三角形 $k_{n}$ 的三条边，且 $a_{n} \leq b_{n}$ ， $c_{n}$ 为斜边 $)$ ，满足对于任意 $n \in N^{*}$ ，有 $k_{2 n} = (a_{n}; c_{n}; \sqrt{a_{n}^{2} + c_{n}^{2}})$ ， $k_{2 n + 1} = (b_{n}; c_{n}; \sqrt{b_{n}^{2} + c_{n}^{2}}) .$

(1)、设 $t_{n} = k_{2^{n - 1}} (n \in N^{*})$ ，求 $\{t_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $k_{n} = (5; 6; \sqrt{61})$ ，求 $n$ ；

(3)、证明：在直角三角形序列 $\{k_{n}\}$ 中，若 $i \neq j$ ，则 $\frac{a_{i}}{b_{i}} \neq \frac{a_{j}}{b_{j}}$ ．

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16、 $2019$ 年 $7$ 月 $30$ 日国家市场监督管理总局第 $111$ 次局务会议审议通过《食品安全抽样检验管理办法》，自 $2019$ 年 $10$ 月 $1$ 日起实施．某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于 $55 %$ 为优级品，固形物含量低于 $55 %$ 且不低于 $50 %$ 为一级品，固形物含量低于 $50 %$ 为二级品或不合格品．

(1)、现有 $6$ 瓶水果罐头，已知其中 $2$ 瓶为优级品， $4$ 瓶为一级品．
（ⅰ）若每次从中随机取出 $1$ 瓶，取出的罐头不放回，求在第 $1$ 次抽到优级品的条件下，第 $2$ 次抽到一级品的概率；
（ⅱ）对这 $6$ 瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出 $6$ 瓶罐头的等级时终止检验，记检验次数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列与期望；

(2)、已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为 $p (0 < p < 1)$ ，且各件产品是否为优级品相互独立，若在 $10$ 次独立重复抽检中，至少有 $8$ 次抽到优级品的概率不小于 $7 \times {0.75}^{9}$ （约为 $0.5256$ ），求 $p$ 的最小值．

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17、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，过点 $F (1, 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点， $A$ 在 $x$ 轴上方， $A M$ ， $B N$ 均垂直于 $C$ 的准线，垂足分别为 $M$ ， $N$ ．

(1)、当 $|A B| = 3 |B N|$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、已知 $O$ 为坐标原点，证明： $|O A| \cdot |O B| = |O M| \cdot |O N|$ ．

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D, A B C D$ 为矩形， $A B = A D = \frac{\sqrt{2}}{2} P D$ ，点 $E$ 在棱 $P B$ 上，且直线 $P D$ 与 $C E$ 所成的角为 $\frac{π}{6}$ ．

(1)、证明：点 $E$ 为棱 $P B$ 的中点；

(2)、求直线 $C D$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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19、若函数 $f (x) = x (2^{- x} - a) - |x - 1|$ 有且仅有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > 0$ ，则实数 $a$ 的取值集合为．

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20、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x = 0, C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + 4 = 0, P, Q$ 分别是 $C_{1}, C_{2}$ 上的动点，则 $|P Q|$ 的最大值为．

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