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相关试卷

1、如图，点 $P$ ， $Q$ 都在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，且直线 $P Q$ 与抛物线在 $P$ 处的切线相互垂直．

(1)、求抛物线的焦点到准线的距离；

(2)、设点 $P (t^{2}, 2 t)$ （ $t \neq 0$ ），
（ⅰ）用 $t$ 表示直线 $P Q$ 的方程；
（ⅱ）求 $|P Q|$ 的最小值．

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2、如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $∠ B A C = ∠ A S C = ∠ S C B = 90 °$ ， $S A = S C = 1$ ， $A B = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为棱 $A B$ ， $S C$ 的中点．

(1)、求证： $M N ⊥ S C$ ；

(2)、求直线 $M N$ 与平面 $S B C$ 所成角的正弦值．

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3、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，不过原点 $O$ 的平面 $α$ 分别交坐标轴于点 $A (a, 0, 0)$ ， $B (0, b, 0)$ ， $C (0, 0, c)$ ，点 $D$ 是 $O$ 在 $α$ 上的射影．求证：

(1)、 $D$ 是 $△ A B C$ 的垂心；

(2)、 $O D = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}}$ ．

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4、已知随机事件 $A$ ， $B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ， $P (A B) = \frac{1}{4}$ ．

(1)、判断 $A$ 与 $B$ 是否相互独立，并说明理由；

(2)、求 $A$ 与 $B$ 都不发生的概率．

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5、已知 $A$ ， $B$ 分别为双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 的左右顶点，点 $P$ 为 $C$ 上一动点， $O$ 为坐标原点，则 $\frac{|P O|}{|P A| + |P B|}$ 的最小值是．

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6、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，经过 $B C_{1}$ 的平面 $α$ 将三棱柱分割成体积相等的两部分，设 $α$ 与棱 $A A_{1}$ 相交于点 $M$ ，则 $A M : M A_{1} =$ ．

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7、一圆台的上下底面半径分别为1，2，高为 $\sqrt{3}$ ，则圆台的侧面积是．

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8、切比雪夫多项式 $T_{n} (t)$ （ $t \in [- 1, 1]$ ）满足 $T_{n} (\cos x) = \cos n x$ ，其中 $n \in N^{*}$ ， $x \in R$ ．例如 $T_{1} (t) = t$ ， $T_{2} (t) = 2 t^{2} - 1$ ．关于 $T_{2025} (t)$ ，下列说法正确的有（）

A、 $T_{2025} (t)$ 的值域是 $[- 1, 1]$ B、 $T_{2025} (t)$ 为偶函数 C、 $T_{2025} (t)$ 有2025个零点 D、 $T_{2025} (\sin x) = \sin 2025 x$

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9、已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则（）

A、 $3 x + 4 y$ 的最大值为5 B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2}$ 的最大值为36 C、 $\frac{y}{x - 2}$ 的最小值为 $- \sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{x} - y$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10、设函数 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的奇偶性 B、 $f (2 x) = 2 {[f (x)]}^{2} - 1$ C、 $g (2 x) = 2 f (x) g (x)$ D、 ${[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2} = 1$

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P A| \cdot |P B| = 1$ ，则 $P$ 的纵坐标的最大值为（）

A、 $\sqrt{5} - 2$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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12、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60 °$ ， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，则 $A C_{1} =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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13、设 $F_{1}$ 为椭圆 $E$ 的左焦点， $P$ 为 $E$ 上一动点，则线段 $P F_{1}$ 的中点的轨迹是（）

A、一个椭圆，其离心率与 $E$ 的离心率相同 B、一个椭圆，其离心率与 $E$ 的离心率不同 C、一个圆，其直径与 $E$ 的长半轴长相等 D、一个圆，其直径与 $E$ 的短半轴长相等

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14、下列多面体，一定有外接球的是（）

A、三棱锥 B、四棱锥 C、三棱柱 D、三棱台

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15、已知直线 $a$ ， $b$ 异面，则对空间任意一点 $P$ ，都存在过 $P$ 且与 $a$ ， $b$ （）

A、都平行的直线 B、都垂直的直线 C、都平行的平面 D、都垂直的平面

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16、函数 $f (x) = x \ln x - 1$ 的零点所在区间为（）

A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）

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17、样本：80，90，100，100，110，120的中位数是（）

A、95 B、100 C、105 D、110

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18、直线 $2 x + 2 y - 5 = 0$ 的倾斜角是（）

A、45° B、60° C、120° D、135°

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19、如图， $A B$ 是圆O的直径， $A D$ 垂直于圆O所在的平面， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 2$ ，点C是圆O上不同于 $A, B$ 的任意一点，E为 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若直线 $B D$ 与平面 $A C D$ 所成的角为 $30 °$ ，求二面角 $O - C E - B$ 的余弦值；

(3)、若点 $P$ 为圆O（含圆周）内任意一点，它到点 $A$ 的距离与到直线 $B D$ 的距离相等，求三棱锥 $P - A B D$ 体积的取值范围．

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20、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ A C$ ， $A P = A B = 2$ ， $A C = 4$ ， $D$ 是 $A C$ 的中点， $E$ 是线段 $B C$ 上的一点，且 $A E = \sqrt{5}$ .

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $P D E$ 的距离.

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