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相关试卷

1、已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) = - 17$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{2}$

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2、已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为 $3 c m$ ，侧面的对角线长是 $3 \sqrt{5} c m$ ，则这个正四棱柱的表面积为

A、 $90 c m^{2}$ B、 $36 \sqrt{5} c m^{2}$ C、 $72 c m^{2}$ D、 $54 c m^{2}$

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3、用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为 $2 \sqrt{2}$ cm² ，则原平面图形的面积为(　　)

A、4 cm² B、 $4 \sqrt{2}$ cm² C、8 cm² D、 $8 \sqrt{2}$ cm²

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4、已知复数 $z = - 1 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则其共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5、布洛卡点是三角形内部的一特殊的点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，它通过等角条件联系三角形边与顶点，其角度和位置揭示了三角形的对称性与比例特性，是经典几何学中兼具美学与实用价值的点.其定义如下：设 $P$ 是 $△ A B C$ 内一点，若 $∠ P A B = ∠$ $P B C = ∠ P C A = θ$ ，则称点 $P$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡点，角 $θ$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡角.如图，在 $△ A B C$ 中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡点，其布洛卡角为 $θ$ ，请完成以下各题：

(1)、若 $∠ A B C = \frac{π}{2}, A C = 2, A B = 1$ ，求 $\tan θ$ ；

(2)、已知 $θ = \frac{π}{6}$ ，
①若 $S = \sqrt{3}$ ，求 $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ 的值；
②若 $a = 2$ ，求S.

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6、如图（1），在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C, ∠ A B C = \frac{π}{2}, A B = B C = 2 A D = 4, E, F$ 分别是 $A B ， C D$ 的中点，沿 $E F$ 将梯形 $A B C D$ 翻折，使 $A B = 2$ ，如图（2）.

(1)、证明：平面 $E F C B ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $A B F$ 的距离；

(3)、求 $C D$ 与平面 $B C F E$ 所成角的正切值.

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7、 $△ A B C$ 中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 $c \cos B + \frac{\sqrt{3}}{3} b \sin C - a = 0$ ，

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，且AB边上的高为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长.

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8、一家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去100天的日销售量（单位： $kg)$ ，将全部数据按区间 $[50, 60), [60, 70), \dots, [90, 100]$ 分成5组，得到下图所示的频率分布直方图.

(1)、求图中 $a$ 的值；并估计该水果店过去100天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(2)、若一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能 $88 %$ 地满足顾客的需要（在100天中，大约有88天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少苹果？

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9、已知 $\vec{a} = (1, \sin (α + \frac{π}{6})), \vec{b} = (3, - 1)$ ，

(1)、若 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{5}$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值；

(2)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\sin (2 α - \frac{π}{6})$ 的值.

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10、如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ B C$ ，现从该三棱锥的6条棱中任选2条，则这2条棱不互相垂直的概率为.

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11、一个封闭的正三棱柱容器，内装水若干，水面高度为3（如图（1），底面处于水平状态）.将容器放倒（如图（2），一个侧面处于水平状态），若此时水面与各棱的交点 $E, F, F_{1}, E_{1}$ 分别为所在棱的中点，则该正三棱柱容器的高为.

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12、在复平面内，复数 $i, 1, 4 + 2 i$ 所对应的点分别为A，B，C，四边形 $A B C D$ 为平行四边形，则点 $D$ 对应的复数为.

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13、已知正四面体 $P - A B C$ 的各棱长均为2，各顶点均在球 $O$ 的球面上，则（）

A、正四面体 $P - A B C$ 的高为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ B、正四面体 $P - A B C$ 的体积为 $2 \sqrt{2}$ C、二面角 $B - C P - A$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ D、球 $O$ 的表面积为 $6 π$

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14、欧拉公式 $e^{i x} = \cos x + isin x (e$ 为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复数范围内关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a, b \in R)$ 的两根为 $z_{1}, z_{2}$ ，其中 $z_{1} = \sqrt{2} e^{\frac{π}{4} i}$ ，则（）

A、复数 $z_{1}$ 对应的点位于第二象限 B、 $z_{2} = 1 - i$ C、 $| a + b i | = 2 \sqrt{2}$ D、若复数 $z$ 满足 $| z | = 1$ ，则 $|z + z_{1}|$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$

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15、下列各式正确的是（）

A、 $\sin 15^{°} + \sin 75^{°} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\tan 15^{°}}{1 - \tan^{2} 15^{°}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\sin 15^{°} \sin 75^{°} = \frac{1}{2}$ D、 $\tan 22^{°} + \tan 23^{°} + \tan 22^{°} \tan 23^{°} = 1$

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16、已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $1, B D = \sqrt{3}, M$ 是菱形 $A B C D$ 所在平面内的动点，则 $\vec{M A} \cdot (\vec{M B} +$ $\vec{M C}$ ）的取值范围是（）

A、 $[- \frac{3}{8}, + \infty)$ B、 $[- \frac{5}{16}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{8}, + \infty)$ D、 $[- \frac{3}{16}, + \infty)$

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17、 $\sin^{2} θ + \cos^{2} (\frac{π}{6} + θ) + \sin θ \cos (\frac{π}{6} + θ)$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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18、已知l，m是两条不同的直线， $α$ 为平面， $m \subset α$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $l / / α$ ，则 $l / / m$ B、若 $l$ 与 $α$ 不平行，则 $l$ 与 $m$ 一定不平行 C、若 $l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ m$ D、若 $l$ 与 $α$ 不垂直，则 $l$ 与 $m$ 一定不垂直

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19、在 $△ A B C$ 中， $\tan A = \frac{1}{4}, \tan B = \frac{3}{5}$ ，若 $△ A B C$ 最长边的长为 $\sqrt{34}$ ，则最短边的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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20、某校文艺部有5名学生，其中高一年级有3名、高二年级有2名.从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{5}$

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