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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2} + 1} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的短轴长和焦距相等，则a的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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2、对于函数 $f (x)$ ，若其定义域内存在非零实数 $x$ 满足 $f (- x) = - f (x)$ ，则称 $f (x)$ 为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数 $x$ 满足 $f (x) = f (- x)$ ，则称 $f (x)$ 为“伪偶函数”.

(1)、已知函数 $f (x) = \frac{x - 2}{x + 1}$ ，判断 $f (x)$ 是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由；

(2)、若幂函数 $g (x) = (n - 1) x^{3 - n} (n \in R)$ 使得 $f (x) = 2^{g (x)} + m$ 在 $[- 1, 1]$ 上是“伪奇函数”，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若整数 $m$ 使得 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} + m^{2} - 3$ 是定义在 $R$ 上的“伪奇函数”，求： $m$ 的取值集合.

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3、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{x^{2} - a x} - |a x - 2| + 1$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 是偶函数，求 $a$ 的值：

(2)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

(3)、若 $f (x)$ 恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围．

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4、已知函数 $f (x) = e^{x} + k e^{- x}$ 为奇函数．

(1)、求实数k的值；

(2)、若对任意的x₂∈ $[1, 2]$ ，存在x₁∈ $[t, + \infty)$ ，使 $f (x_{1}) \leq e^{|x_{2} - t|}$ 成立，求实数t的取值范围．

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5、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x ∣ a - 1 \leq x \leq 2 a + 1\} ， B = \{x |\frac{x + 1}{x - 3} < 0\}$

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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6、已知定义在 $R$ 上的单调函数 $v = f (x)$ 满足 $f (f (x) - 3^{x} - 2 x) = 6$ ．若对 $\forall x \in [1, 2], \exists x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [- 1, 0] (n \in N^{*})$ ，使得 $f (x) \leq f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})$ 成立，则 $n$ 的最小值为．

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7、若 ${(3 - 2 m)}^{3} < {(m + 1)}^{3}$ ，则实数 $m$ 的取值范围是．

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8、已知 $f (x), g (x)$ 均为定义域为 $R$ 的奇函数，且 $f (x) + g (x + 1) = x$ ，则（　　）

A、 $g (1) = 0$ B、 $f (2025) = 2025$ C、 $f (2 x - 5)$ 是奇函数 D、 $g (2 x - 5)$ 是奇函数

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9、下列命题中，正确的有（　　）

A、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ ，则 $a > b$ B、若 $0 < a c < b c$ ，则 $a^{2} < b^{2}$ C、若 $a > b ， c < d$ ，则 $a - c < b - d$ D、若 $b > a > 0 ， m > 0$ ，则 $\frac{b}{a} > \frac{b + m}{a + m}$

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10、已知 $a > 1, b > 1$ 且 $a b^{3} = 8$ ，则 ${log}_{a} 4 + {log}_{b} 2$ 的最小值为（）

A、 $5 + 2 \sqrt{6}$ B、 $7 + 2 \sqrt{6}$ C、 $\frac{1}{3} (5 + 2 \sqrt{6})$ D、 $\frac{1}{3} (7 + 2 \sqrt{6})$

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11、函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4 x + 3)$ 的单调增区间为（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 1)$

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12、设 $x ， y \in R$ ，则“ $x > y$ ”是“ ${log}_{2} x > {log}_{2} y$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、命题“ $\forall x \in N, x^{2} + x \geq 0$ ”的否定是（　　）

A、 $\exists x \in N, x^{2} + x \leq 0$ B、 $\exists x \in N, x^{2} + x < 0$ C、 $\exists x \notin N, x^{2} + x < 0$ D、 $\forall x \notin N, x^{2} + x < 0$

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14、已知集合 $A = \{x \in N |x^{2} - 4 x - 5 \leq 0\}$ ， $B = \{x |0 \leq x \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ B、 $\{1, 2, 3, 4\}$ C、 $\{x |0 \leq x \leq 4\}$ D、 $\{x |1 \leq x \leq 4\}$

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 是边长为2的等边三角形，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $B C // A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = B C = 1$ .

(1)、取线段 $P A$ 中点M，连接 $B M$ ，证明： $B M //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(3)、线段 $P D$ 上是否存在一点E，使得平面 $E A C$ 与平面 $D A C$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{P E}{P D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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16、已知 $△ A B C$ 的面积记为 $S$ .请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补充完成下题（只要写序号），并解答该题.
① $2 a = c + 2 b cos C$ ；② $\sqrt{3} \vec{A B} \cdot \vec{B C} + 2 S = 0$ ；③ $(a + b + c) (a - b + c) = 3 a c$
$△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知__________.

(1)、若 $b = 7$ ， $c = 5$ ，求 $a$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = 2$ ，求 $a + c$ 的取值范围.

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17、已知点 $P (- 2, - 3)$ 和以点 $Q$ 为圆心的圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ .

(1)、求出以 $P Q$ 为直径，点 $Q^{'}$ 为圆心的圆的方程；

(2)、设圆 $Q$ 与圆 $Q^{'}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $P A$ ， $P B$ 是圆 $Q$ 的切线吗?为什么?

(3)、求直线 $A B$ 的方程.

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18、某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数；

(2)、若落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是57，方差是2，落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数 $z$ 和总方差 $s^{2}$ .
参考公式： $s^{2} = \frac{n}{n + m} [s_{x}^{2} + {(\bar{z} - \bar{x})}^{2}] + \frac{m}{n + m} [s_{y}^{2} + {(\bar{z} - \bar{y})}^{2}]$ 其中 $\bar{z}$ 为总样本平均数.

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19、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $M, N, P$ 分别是棱 $C_{1} D_{1}, A A_{1}, B C$ 的中点， $Q$ 为平面 $P M N$ 上的动点，且直线 $Q B_{1}$ 与直线 $D B_{1}$ 的夹角为 $30^{\circ}$ ，则（）

A、 $D B_{1} ⊥$ 平面 $P M N$ B、平面 $P M N$ 截正方体所得的截面图形为正六边形 C、点 $Q$ 的轨迹长度为 $π$ D、能放入由平面 $P M N$ 分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为 $\frac{3 - \sqrt{3}}{2}$

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20、已知向量 $\vec{m} = (\cos α, - \sin α), \vec{n} = (\cos β, \sin β)$ ，则（）

A、若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则 $α + β = 2 k π (k \in Z)$ B、 ${\vec{m}}^{2} + {\vec{n}}^{2} = 2$ C、 $\vec{m} \cdot \vec{n} = \cos (α + β)$ D、 $|\vec{m} + \vec{n}| \leq 2$

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