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相关试卷

1、 $(2 x + 1) {(1 - x)}^{9}$ 的展开式中 $x^{5}$ 的系数为．

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2、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D} + γ \vec{A A_{1}}$ ， $λ, μ, γ \in R$ （ $P$ 与 $B, D, A_{1}$ 三点不重合），则下列说法正确的是（）

A、当 $λ + μ + γ = 1$ 时， $P B / /$ 平面 $C D_{1} B_{1}$ B、当 $γ = 1, λ = μ$ 时， $A_{1} P ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ C、当 $λ = \frac{1}{2}, μ = γ = 1$ 时，平面 $A_{1} D P ⊥$ 平面 $A_{1} D C$ D、当 $λ μ = 1, γ = 0$ 时，直线 $P A_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角的正切值的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3、甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由 $A, B, C$ 三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序 $A, B, C$ 的概率分别为 $0.5, 0.3, 0.2$ ，当他负责工序 $A, B, C$ 时，该项目达标的概率分别为 $0.6, 0.8, 0.7$ ，则下列结论正确的是（）

A、该项目达标的概率为0.68 B、若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54 C、若该项目达标，则甲负责工序A的概率为 $\frac{15}{34}$ D、若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为 $\frac{5}{8}$

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4、若 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + \dots + {(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，且 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n - 1} = 125 - n$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $n = 6$ B、 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 展开式中二项式系数和为 $729$ C、 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + \dots + {(1 + x)}^{n}$ 展开式中所有项系数和为 $126$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = 321$

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5、中国蹴鞠已有两千三百多年的历史，于2004年被国际足联正式确认为世界足球运动的起源．蹴鞠在2022年卡塔尔世界杯上再次成为文化交流的媒介，走到世界舞台的中央，诉说中国传统非遗故事．为弘扬中华传统文化，某市四所高中各自组建了蹴鞠队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，则在比赛结束时丙队在输了第一场且其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{5}{27}$ C、 $\frac{4}{81}$ D、 $\frac{8}{243}$

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6、已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为 $e_{1} 、 e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ =（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

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7、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F,$ 点A在C上，过A作 $C$ 的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为 $y = - 2 x + 2$ ，则 $| A F | =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8、设函数 $f (x) = 2 x - \ln (x - a), a \in R$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ （ $a$ 为常数， $a \in R$ ）．

(1)、当 $a$ 取何值时，函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、当 $a = 1$ 时，若方程 $f (2 x) - k \cdot f (x) = 3$ 在 $x \in [0, 1]$ 上有实根，求实数 $k$ 的取值范围．

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10、函数 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11、已知函数 $f (x) = x \ln (x + a) - 2 x + 2 \ln (x + 1), g (x) = 2 \ln (x + a + 1) - 3 x$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $g (x)$ 在 $(1, g (1))$ 处的切线 $l$ 的方程；

(2)、判断 $x = 0$ 是否是函数 $f (x)$ 的极值点，并说明理由；

(3)、若不等式 $f (x) > g (x) + k (x - 2)$ 对任意的 $x \in (2, + \infty)$ ， $a \in [0, 2]$ 恒成立，求正整数 $k$ 的最大值．（参考数据： $e = 2.71828 \dots, e^{2} = 7.38906 \dots, e^{3} = 20.08554 \dots$ ）．

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12、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过点 $Q (2, 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点．当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时， $|A B| = 4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的解析式；

(2)、若 $\cos ∠ A O B = - \frac{\sqrt{13}}{13}$ ，过 $x$ 轴上一点 $P$ 作直线 $O A, O B, A B$ 的垂线，垂足分别为 $E, F, G$ ，且满足 $E,$ $F, G$ 三点共线．
（i）求直线 $l$ 的方程；
（ii）求 $P$ 点的坐标．

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13、已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $S_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (1, 0)$ ，定义点 $A_{n} (1 + \frac{1}{a_{n}}, 1), B_{n} (n, 1)$ （其中 $n \in N_{+}$ ），记 $a_{n} = ∠ A_{n} O P, β_{n} = ∠ B_{n} O P$ ．
（i）求 $\tan (β_{2} + β_{3})$ 的值；
（ii）证明： $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} + β_{n + 1} = \frac{π}{4}$ ．

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // C D, B C ⊥ A B,$ $A B = 1 + \sqrt{3}, C D = \sqrt{3}, B C = P B = 2$ ，且四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3} + 1}{3}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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15、某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，

(1)、求图中 $a$ 的值和样本成绩的中位数；

(2)、已知学校用分层抽样的方法，从 $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在 $[90,100]$ 内的有 $X$ 人，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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16、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作直线交双曲线 $C$ 的右半支于 $P, Q$ 两点，满足 $P F_{1} ⊥ P Q$ ，且 $△ Q F_{1} F_{2}$ 面积是 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的两倍，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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17、用1，2，3， $12$ 四个数组成一个五位数（每个数仅用到1次），则能组成个不同的五位数．

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18、已知实数 $a, b$ 满足 $2^{a} = 3, 3^{b} = 2$ ，则 $a b =$ ．

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19、现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为 $A$ 队，丙、丁为 $B$ 队．已知甲、乙传给队友的概率为 $\frac{1}{3}$ ，丙、丁传给队友的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为 $n$ （ $n \in N_{+}$ 且 $n \geq 2$ ），则（）

A、传球 $n$ 次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B、 $n = 3$ 时，球在乙手中的概率为 $\frac{5}{27}$ C、传球 $n$ 次后，球在 $A$ 队成员手中的概率恒为一个常数 D、设球在乙手中的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{n} = \frac{1}{6} [1 + {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}] (n > 2)$

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20、已知 $△ A B C$ 的三个内角分别为 $A, B, C$ ， $B = C + \frac{π}{2}$ ， $A B = 2, A C = 3$ ， $D$ 在线段 $B C$ 上，且满足 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．则（）

A、 $\sin B = \frac{3}{2} \sin C$ B、 $\tan C = \frac{2}{3}$ C、 $B C = \frac{25}{13}$ D、 $A D = \frac{6 \sqrt{26}}{13}$

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