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相关试卷

1、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 底面是边长为2的正方形，高为4，E为线段AB的中点，F为线段 $C A_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、求直线EF与平面 $A_{1} D C$ 所成角的正弦值.

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2、从7名男生和5名女生中选取3人依次进行面试．

(1)、若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？

(2)、若参加面试的人中，恰好有1名女生，则有多少种不同的面试方法？

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3、如图，空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}, D$ 是BC的中点， $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{P D}$ ，则 $\vec{O P} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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4、下列函数中，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = \frac{1}{x} - x$ B、 $y = x^{2} - x$ C、 $y = \ln x - x$ D、 $y = e^{x}$

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5、平面 $α$ 经过三点 $O (0, 0, 0)$ ， $A (2, 2, 0)$ ， $B (0, 0, 2)$ ，则平面 $α$ 的法向量可以是

A、 $(1, 0, 1)$ B、 $(1, 0, - 1)$ C、 $(0, 1, 1)$ D、 $(- 1, 1, 0)$

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6、已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ 在 $x = 2$ 处取得极值，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、-2

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7、阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点 $M$ 与两定点 $Q$ ， $P$ 的距离之比 $\frac{|M Q|}{|M P|} = λ$ （ $λ > 0$ ， $λ \neq 1$ ）， $λ$ 是一个常数，那么动点 $M$ 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线 $P Q$ 上．当 $λ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，动点 $M$ 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，定点分别为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的右焦点 $F$ 与右顶点 $A$ ，且椭圆 $C$ 的离心率为 $e = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，过右焦点 $F$ 斜率为 $k$ （ $k > 0$ ）的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $B$ ， $D$ （点 $B$ 在 $x$ 轴上方），点 $S$ ， $T$ 是椭圆 $C$ 上异于 $B$ ， $D$ 的两点， $S F$ 平分 $∠ B S D$ ， $T F$ 平分 $∠ B T D$ ．
①求 $\frac{|B S|}{|D S|}$ 的取值范围；
②将点 $S$ 、 $F$ 、 $T$ 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若 $△ S F T$ 外接圆的面积为 $\frac{81 π}{8}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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8、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为菱形， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求平面 $A E C_{1}$ 和平面 $E C_{1} C$ 夹角的余弦值；

(2)、连接 $E C$ ，若点 $P$ 为线段 $E C$ 上的一动点，当点 $P$ 到直线 $B B_{1}$ 距离最短时，求线段 $D P$ 的长度．

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9、已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 9$ ，圆 $E$ 的圆心在直线 $y = x + 1$ 上，两圆的公共弦 $A B$ 所在的直线方程为 $x + 2 y - 5 = 0$ ．

(1)、求公共弦 $A B$ 的长度；

(2)、求圆 $E$ 的方程；

(3)、过点 $Q (0, 1)$ 分别作直线 $M N$ ， $R S$ 交圆 $E$ 于 $M$ ， $N$ ， $R$ ， $S$ 四点，且 $M N ⊥ R S$ ，求四边形 $M R N S$ 面积的最大值与最小值．

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10、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的一个焦点坐标为 $(3, 0)$ ，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为 $2 \sqrt{2}$ ， $O$ 为坐标原点．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知双曲线 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作斜率为1的直线 $l$ 且与双曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ F_{1} M N$ 的面积．

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11、如图，在空间四边形 $O A B C$ 中， $3 \vec{B D} = \vec{D C}$ ，点 $E$ 为 $A D$ 的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ．

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{O E}$ ；

(2)、若 $O A = O B = O C = 4$ ， $∠ A O C = ∠ B O C = ∠ A O B = 45 °$ ，求 $\vec{O E} \cdot \vec{B C}$ 的值．

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12、圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的．一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点 $(3, 2)$ 为圆心，1为半径的圆上取任意一点 $P (x, y)$ ，若 $|x + 2 y + a| + |4 - x - 2 y|$ 的取值与 $x$ ， $y$ 无关，则实数 $a$ 的取值范围是．

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13、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ ，的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l$ 经过点 $F_{2}$ 且与该双曲线的右支交于 $A, B$ 两点，若 $△ A F_{1} B$ 的周长为 $5 a$ ，则该双曲线离心率的取值范围是．

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14、已知曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{m + 1} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ $(m \neq - 1)$ ， $A, B$ 分别为曲线 $C$ 与 $y$ 轴的上、下交点， $P$ 为 $C$ 上任意一点，则（）

A、若 $m = - 2$ ，则 $C$ 为双曲线，且渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ B、若 $m \in (- 1, + \infty)$ 时，曲线 $C$ 表示椭圆 C、若 $P$ 不与 $A, B$ 重合，直线 $P A, P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{4}{m + 1}$ D、当 $m > 3$ 时，若曲线 $C$ 上的任意点 $P$ 都满足 $|P A| \leq 4$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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15、以下说法正确的是（）

A、已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，向量 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 是 $\vec{a} = λ \vec{b}$ 的充要条件 B、已知空间向量 $\vec{a} = (x, - 2, 5)$ ， $\vec{b} = (1, y, - 3)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $x y = - 2$ C、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 4, 6)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $(4, 0, 4)$ D、平面 $α$ 经过三点 $A (0, - 1, 1)$ ， $B (0, 1, 0)$ ， $C (1, - 2, 0)$ ，向量 $\vec{n} = (a, b, 1)$ 是平面 $α$ 的法向量，则 $a + b = 2$

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16、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ C A B = 90 °$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $O$ 为 $B C$ 的中点， $M$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 上的动点， $N$ 为棱 $A M$ 上的动点，且 $\frac{M N}{M O} = \frac{M O}{M A}$ ，则线段 $M N$ 长度的取值范围为（）．

A、 $[\frac{3 \sqrt{6}}{4}, \sqrt{7}]$ B、 $[\frac{3 \sqrt{5}}{5}, \frac{5 \sqrt{7}}{7}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{4 \sqrt{7}}{7}]$ D、 $[\frac{23}{5}, \frac{47}{7}]$

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17、已知动点 $M$ 在直线 $l_{1}$ ： $x + y - 1 = 0$ 上，动点 $N$ 在直线 $l_{2}$ ： $x + y + 1 = 0$ 上，记线段 $M N$ 的中点为 $P$ ，圆 $C_{1}$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ ， $A$ ， $B$ 分别是圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点．则 $|P A| + |P B|$ 的最小值为（）

A、3 B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{14} - 3$ D、 $\sqrt{13} - 3$

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18、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $y = x$ 与 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ，若四边形 $M F_{1} N F_{2}$ 的面积为 $2 c^{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} - 3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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19、由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 $\frac{y^{2}}{{\dot{a}}^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，焦距为 $\frac{14}{3}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{13} x$ B、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{66}}{22} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{66}}{9} x$ D、 $y = \pm \frac{13 \sqrt{3}}{9} x$

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20、已知两点 $A (1, 3)$ ， $B (- 2, 5)$ ，直线 $l$ 过点 $P (- 1, 0)$ 且与线段 $A B$ 有交点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为（）

A、 $\frac{3}{2} \leq k \leq 5$ B、 $k \geq 5$ 或 $k \leq \frac{3}{2}$ C、 $k \geq \frac{3}{2}$ 或 $k \leq - 5$ D、 $- 5 \leq k \leq \frac{3}{2}$

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