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相关试卷

1、已知由椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 1)$ 与椭圆 $C_{2} : x^{2} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ 的交点连线可构成矩形 $A B C D$ （点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴下方），且 $B C = 3 C D$ ，则 $b^{2} + \frac{2}{a^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{11}{4}$

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2、已知函数 $f (x) = a x^{2} + x - 3$ ，且 $\forall x_{1}, x_{2} \in [2, + \infty), x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 2$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ B、 $(- \infty, \frac{1}{4}]$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0]$

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3、若点 $P$ 在曲线 $y = x^{3} - \sqrt{3} x$ 上，曲线在 $P$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $α$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{2 π}{3}, π)$ B、 $[0, \frac{π}{2})$ C、 $[0, \frac{π}{2}) \cup [\frac{2 π}{3}, π)$ D、 $[0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{2π}{3}]$

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4、某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为 $a (a > 0)$ ，第三年的年产量的增长率为 $b (b > 0)$ ，这两年的年产量的平均增长率为 $x$ ，则（）

A、 $x = \frac{a + b}{2}$ B、 $x \leq \frac{a + b}{2}$ C、 $x > \frac{a + b}{2}$ D、 $x \geq \frac{a + b}{2}$

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5、若复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 10 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、4 B、 $2 i$ C、 $4 i$ D、2

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6、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{10} = 13$ ， $a_{2} + a_{5} + a_{9} + a_{16} = 28$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d$ 为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7、已知角 $α$ 的终边经过点P(4，－3)，则 $\cos α$ 的值等于

A、 $4$ B、 $- 3$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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8、若 $\sin α = - \frac{3}{5}$ ， $α$ 为第四象限角，则 $\cos α$ 的值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9、如图，三棱锥 $A - B C D$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ， $△ A C D$ 是等边三角形， $△ A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形， $E$ ， $F$ 分别是 $C D$ ， $A C$ 的中点， $P$ 是 $B D$ 上一点（不含端点）．

(1)、证明： $A D / /$ 平面 $B E F$ ；

(2)、若三棱锥 $A - B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，且球 $O$ 的表面积为 $\frac{64π}{3}$ ．
（ⅰ）求三棱锥 $A - B C D$ 的体积；
（ⅱ）求直线 $B E$ 与平面 $A C P$ 所成角的正弦值的最大值．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n + 1}, b_{n} = 2 n - 1$

(1)、证明： $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{n b_{n}}{a_{n}}$ ，记 $\{c_{n}\}$ 前n项和为 $T_{n}$ ，对任意的正自然数n，不等式 $T_{n} < λ$ 恒成立，求实数 $λ$ 的范围．

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11、设 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $\sqrt{3} a \sin C + a \cos C = b + 2 c$ ．

(1)、求A；

(2)、已知 $△ A B C$ 的面积为 $18 \sqrt{3}$ ， $M$ 是 $B C$ 边上靠近点 $C$ 的三等分点， $A M = 4$ ，求 $c + 2 b$ 的值．

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12、若存在实数a，对任意的 $x \in [0, m]$ ，都有 $(\sin x - a) \cdot (\cos x - a) \leq 0$ 恒成立，则实数m的最大值为.

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13、已知函数 $f (x) = ln (x^{2} - a x + 3)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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14、已知函数 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} + x + 1$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的解析式为.

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15、“曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点 $P (x_{1}, y_{1}) 、 Q (x_{2}, y_{2})$ 的曼哈顿距离为： $L_{P Q} = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ．若点 $P (1, 2)$ ，点 $Q$ 为圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 上一动点，则（）

A、点 $P (1, 2)$ 和点 $A (- 1, 3)$ 的曼哈顿距离为3 B、设 $Q (2 cos θ, 2 sin θ)$ ，则 $L_{P Q} = \{\begin{array}{l} 1 - 2 \sqrt{2} sin (θ - \frac{π}{4}), cos θ \geq \frac{1}{2} \\ 3 - 2 \sqrt{2} sin (θ + \frac{π}{4}), cos θ < \frac{1}{2} \end{array}$ C、 $L_{P Q}$ 的最小值为 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、 $L_{P Q}$ 的最大值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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16、已知定义域为R的 $f (x) = \frac{- 2^{x} + a}{2^{x + 1} + 2}$ 是奇函数，则（）

A、 $a = 1$ B、 $f (x)$ 在R上单调递增 C、 $f (x)$ 的值域为 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $f (2 - x^{2}) > f (x)$ 的解集为 $(- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)$

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17、已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数， $f (2 x + 2)$ 的图象关于 $x = - \frac{1}{2}$ 对称， $f (1) = 1$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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18、已知实数 $a, b, c$ ，满足 ${log}_{3} a = {(\frac{1}{5})}^{b} = 3^{c}$ ，则下列关系不可能成立的是（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + \frac{5}{2} a, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{array}$ 是定义在 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 2]$ B、 $[1, 2)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(0, 1]$

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20、著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 $θ_{1} ° C$ ，空气温度为 $θ_{0} ° C$ ，则 $t$ 分钟后物体的温度 $θ$ （单位： $° C$ )满足： $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ .若常数 $k = 0.05$ ，空气温度为 $30 ° C$ ，某物体的温度从 $110 ° C$ 下降到 $40 ° C$ 以下，至少大约需要的时间为（）（参考数据： $\ln 2 \approx 0.69$ ）

A、40分钟 B、41分钟 C、42分钟 D、43分钟

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