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相关试卷

1、某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则 $P (X = 5) =$ .

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2、将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (\frac{π}{4})$ 的值为.

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3、在斜三角形 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．若 $\sin A = \cos B$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、 $A - B = \frac{π}{2}$ C、若 $a = 1$ ，则 $b = \tan B$ D、 $1 < \cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{5}{4}$

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4、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) + f (x) = 0$ ，且 $y = f (2 - x)$ 为偶函数，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为2 B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = 2$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(1, 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 为奇函数

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5、在二项式 ${(x - 2)}^{6}$ 的展开式中，下列结论正确的是（）

A、常数项为-64 B、含 $x^{3}$ 的项的系数为-160 C、所有的二项式系数之和为64 D、所有项的系数之和为-1

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6、已知函数 $f (x) = \ln (1 + e^{x}) - \frac{1}{2} x, a = f (\frac{\ln 2}{2}), b = f (\frac{1}{e}), c = f (- \frac{\ln 3}{3})$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < c < a$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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7、设函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3})$ 在区间 $(0, π)$ 恰有三个极值点、两个零点，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{13}{6}, \frac{8}{3})$ B、 $[\frac{13}{6}, \frac{8}{3}]$ C、 $(\frac{13}{6}, \frac{8}{3}]$ D、 $[\frac{13}{6}, \frac{8}{3})$

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8、已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2^{x} + \log_{3} (x + 1) - 5$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (0, 2)$ B、 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ D、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$

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9、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 3$ ， $A = \frac{π}{3}$ ， $\sin C = 2 \sin B$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$

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10、已知 $x, y \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\sin x = \frac{3}{5}, \cos y = \frac{5}{13}$ ，则 $\cos (x - y) =$ （）

A、 $\frac{8}{65}$ B、 $\frac{16}{65}$ C、 $\frac{33}{65}$ D、 $\frac{56}{65}$

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11、已知 $a, b \in R$ ，则“ $a^{3} > b^{3}$ ”是“ $\log_{2} a > \log_{2} b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x \leq 0\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 2\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

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13、在平面直角坐标系中，定义点A到直线 $l$ 的距离为 $d (l, A)$ . $△ A B C$ 的3个顶点坐标为 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ .记 $f (l) = {(d (l, A))}^{2} + {(d (l, B))}^{2} + {(d (l, C))}^{2}$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的3个顶点坐标为 $A (0, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (3, 5)$ ， $l$ 的方程为 $2 x + y - 1 = 0$ ，求 $f (l)$ .

(2)、对于（1）中的 $△ A B C$ ，证明：当 $f (l)$ 取到最小值时， $l$ 经过 $△ A B C$ 的重心.

(3)、若存在3条不同的直线使得 $f (l)$ 取得最小值，证明此时 $△ A B C$ 为等边三角形.

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14、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为2，右焦点F到双曲线 $C$ 的渐近线距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $E (2, 0)$ 作直线 $l_{1}$ 交双曲线的右支于A，B两点，连接 $A O$ 并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求 $△ P A B$ 的面积的最小值；

(3)、设定点 $T (t, 0)$ ，过点T的直线 $l_{2}$ 交双曲线 $C$ 于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线 $C$ 上存在一点S，使得直线 $S M$ 的斜率与直线 $S N$ 的斜率之和为定值，求实数t的取值范围.

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15、如图，在三棱台 $D E F - A B C$ 中， $A B = 2 D E$ ， $G 、 H$ 分别为 $A C$ 、 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $B D / /$ 平面 $F G H$ ；

(2)、若 $C F ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B ⊥ B C$ ， $C F = D E$ ，求平面 $E F G$ 与平面 $F G H$ 所成的锐二面角的大小.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ 且 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = (2 n + 1) a_{n}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $λ (T_{n} - 2) \leq 3^{n}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = (x - a) e^{x}$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的极小值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上不具有单调性，求实数 $a$ 的取值范围.

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18、抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B，以下说法正确的有（）

A、以 $A F$ 为直径的圆与y轴相切 B、以 $A B$ 为直径的圆与抛物线的准线相离 C、若点D为抛物线准线与x轴交点，则一定有 $∠ A D F = ∠ B D F$ D、过线段 $A B$ 的中点M作y轴的垂线，交抛物线于点P，交抛物线的准线于点N，则 $|P M| = |P N|$

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19、已知一组样本数据 $x_{i} (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 20)$ ，其中 $x_{i} (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 20)$ 为正实数.满足 $x_{1} \leq x_{2} \leq x_{3} \leq \cdot \cdot \cdot \leq x_{20}$ .下列说法正确的是（）

A、样本数据的第50百分位数为 $\frac{x_{10} + x_{11}}{2}$ B、已知这组数据的极差是6，则数据 $2 x_{1} - 1, 2 x_{2} - 1, \cdot \cdot \cdot, 2 x_{20} - 1$ 的极差是11 C、若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左边“拖尾”，则样本数据的平均数小于中位数 D、样本数据的方差 $s^{2} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} x_{i}^{2} - 16$ ，则这组样本数据的总和等于80

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20、下列命题正确的是（　　）

A、 $(e^{- x})^{'} = e^{- x}$ B、已知函数 $f (x)$ 在R上可导，且 $f^{'} (1) = 1$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + Δ x) - f (1 - Δ x)}{Δ x} = 2$ C、若函数 $f (x), g (x)$ 都是可导函数， $y = f (x) \cdot g (x)$ ，则 $y^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$ D、一质点A沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为 $y (t) = t^{2} + 1$ ，则该质点在t＝2s时的瞬时速度是4m/s

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