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1、《九章算术》中记载：“今有台，上广二尺，下广四尺，高五尺．”其大致意思为：“现有一个棱台，上底面为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，高为5”，则这个棱台的体积为（）

A、 $\frac{100}{3}$ B、 $\frac{140}{3}$ C、100 D、140

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2、设 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 3)$ ，则 $\tan 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉$ 的值为（）．

A、2 B、3 C、 $4 \sqrt{2}$ D、7

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3、圆 $C : x^{2} + y^{2} = 25$ 在点 $(4, 3)$ 处的切线斜率是（）．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4、若 $2^{m} + 3^{- n} \geq 2^{n} + 3^{- m}$ ，其中m，n均为实数，则（）

A、 $m + n \leq 0$ B、 $m - n \leq 0$ C、 $m - n \geq 0$ D、 $m + n \geq 0$

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5、如图所示，已知 $△ A B C$ 中，点 $P ， Q ， R$ 依次是边 $B C$ 上的三个四等分点，若 $\vec{A P} \cdot \vec{A R} = 20 ， B C = 8$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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6、已知函数 $f (x) = a x + 1 - (a x + 1) e^{- x}$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \geq 1$ 时，证明： $f (x) \geq x$ ；

(3)、当 $a \leq 0$ 时，证明： $f (x) \leq x (1 - a x)$ .

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(0, 1)$ ，且过定点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程.

(2)、直线 $l$ ： $y = k x + m (k > 0)$ 与椭圆 $E$ 交于点 $A$ ， $B$ ，若椭圆 $E$ 上存在点 $C$ 使得四边形 $O A C B$ 为平行四边形.
（ⅰ）求 $m$ 的取值范围.
（ⅱ）若 $|A B| = \sqrt{3} |O C|$ ，求 $k$ 的值.

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形，且 $P D = A B = 2 A D ， ∠ D A B = \frac{π}{3}$ .

(1)、证明： $A D ⊥ P B$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P D B$ 夹角的余弦值.

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9、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} + a_{2} + 3 a_{4} = 25$ ，且公差 $d = 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} \cdot \sqrt{3^{a_{n} + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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10、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ，侧面 $P A B ⊥$ 侧面 $P B C$ ，且 $P A = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为4.若三棱锥 $P - A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 表面积的最小值为.

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11、已知双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 且不与 $x$ 轴重合的直线与 $C$ 的左、右两支分别交于点 $B$ 和点 $A$ ， $A B$ 的中点为 $D$ ，坐标原点为 $O$ ，则下列说法正确的（）

A、 $F_{2}$ 到该双曲线 $C$ 的渐近线的距离为2 B、若 $D F_{2} // O B$ ，则 $|A F_{2}| + |B F_{2}| = 2 |A B|$ C、 $2 |O D| \leq |B F_{1}| + |A F_{2}|$ D、若 $|A F_{2}| = |B F_{2}|$ ，则 $△ A B F_{2}$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$

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12、已知 $x = \frac{π}{4}$ 为函数 $f (x) = a sin x + b cos x (a \neq 0, b \neq 0)$ 的其中一条对称轴，则（）

A、 $a = b$ B、 $f (\frac{π}{4} - x)$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ 中心对称

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13、对于实数 $a$ ， $b$ ， $m$ ，下列说法正确的是（）

A、设 $p$ ： $a m^{2} > b m^{2}$ ， $q$ ： $a > b$ ，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件 B、命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x > 0$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \leq 1$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} \leq 0$ ” C、若 $b > a > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{a + m}{b + m} > \frac{a}{b}$ D、若 $a > b > 0$ ，且 $|ln a| = |ln b|$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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14、已知不等式 $a e^{x} \leq sin x$ 在区间 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{\sqrt{3}}{2} e^{- \frac{π}{3}}]$ B、 $(- \infty, \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- \frac{π}{4}}]$ C、 $(- \infty, \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- \frac{π}{3}}]$ D、 $(- \infty, \frac{\sqrt{3}}{2} e^{- \frac{π}{4}}]$

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15、已知直线 $l$ ： $3 x + 4 y + 12 = 0$ 及抛物线 $x^{2} = 8 y$ 上一动点 $M (x_{M}, y_{M})$ ，记 $M$ 到 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $y_{M} + d$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、4 D、 $\sqrt{5} - 2$

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16、已知实数 $a, b$ 满足等式 ${(\frac{1}{2})}^{a} = {(\frac{1}{3})}^{b}$ ，其中不可能成立的关系式为（）

A、 $0 < b < a$ B、 $0 < a < b$ C、 $a < b < 0$ D、 $a = b$

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17、已知双曲线的两条渐近线为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，且过点 $(\sqrt{3}, 2)$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{\frac{3}{5}} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{\frac{3}{5}} - \frac{x^{2}}{5} = 1$

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18、某圆台形无盖水桶的表面积为 $220 {πcm}^{2}$ ，水桶下底面的半径为5cm，上底面的半径为10cm，则该水桶的容积为（）（水桶壁与底的厚度忽略不计）

A、 $600 {πcm}^{3}$ B、 $700 {πcm}^{3}$ C、 $800 {πcm}^{3}$ D、 $900 {πcm}^{3}$

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19、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ B、 $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{c}$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{a} - 2 \vec{b}$ ， $\vec{a}$ D、 $\vec{a} + 2 \vec{b} + 2 \vec{c}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{a}$

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20、在复平面内，复数 $z = \frac{1}{1 + i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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