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相关试卷

1、已知公差为 $d (d > 0)$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{4} = 8$ ， $a_{2} \cdot a_{3} = 15$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{n - 1}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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2、如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若 $\vec{A P} = (m + \frac{1}{10}) \vec{A B} + \frac{1}{10} \vec{B C}$ ，则 $m =$ ．

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3、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 12$ ，则向量 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- \frac{3}{4} \vec{a}$ B、 $- \frac{3}{4} \vec{b}$ C、 $- \frac{4}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{4}{3} \vec{a}$

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4、设 $a = {(\frac{1}{3})}^{2.5}, b = \log_{\frac{5}{2}} \frac{1}{3}, c = 3^{- 2.3}$ ，则 $a 、 b 、 c$ 的大小关系为（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < a < c$ D、 $a < c < b$

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5、集合 $A = \{- 2, 0, 1\}$ ， $B = \{y |y = x^{2}, x \in A\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{- 2, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1, 4\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 2, 0, 1, 4\}$

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6、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 是棱 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $B_{1} F$ $∥$ 平面 $A_{1} B E$ ；

(2)、求直线 $D F$ 和平面 $A_{1} B E$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $A_{1} B E$ 与平面 $B_{1} C_{1} F$ 夹角的余弦值.

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7、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{n} = n^{2} + 2 n$ ，则 $a_{n} =$ （）

A、 $2 n + 1$ B、 $2 n - 1$ C、 $n + 1$ D、 $n - 1$

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8、已知双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为2，则C的渐近线方程为（）.

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm 2 x$ D、 $y = \pm x$

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9、直线经过 $A (1, 0)$ ， $B (2, \sqrt{3})$ ，其倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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10、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $P (0, 1)$ 的直线 $l$ 交 $E$ 于M，N两点，
①若 $\vec{N P} = 3 \vec{P M}$ ，求直线 $l$ 的方程；
②若点 $A (1, 1)$ ，求 $△ A M N$ 的面积的取值范围．

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11、设 $x > 0, y > 0, x + 2 y = 2$ ，则 $\frac{\sqrt{x y}}{(x - 2) (y - 1) + 4}$ 的最大值为.

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12、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \infty, - 2) \cup (4, + \infty)$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根为 $- 2$ 和 $4$ C、函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ 的零点为 $2$ 和 $- 4$ D、 $c > 0$

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13、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}, |\vec{b}| = 1$ .若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、如图：在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长 $A B = 2$ ， M为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求三棱锥 $D - A M C$ 的体积；

(2)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A M C$ ；

(3)、若 $E$ 为线段 $B D_{1}$ 上的动点，则线段 $C C_{1}$ 上是否存在点 $N$ ，使 $E N / /$ 平面 $A M C$ ？说明理由．

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15、已知平面向量 $\vec{a} = (1, x)$ ， $\vec{b} = (2 x + 3, - x)$ ， $x \in R$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，求 $x$ 的取值范围.

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16、在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其面积 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，这里 $p = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ．已知在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ， $A B = 2 A C$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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17、定义运算： $a \otimes b = \{\begin{array}{l} b, a \geq b \\ a, a < b \end{array}$ ，则函数 $f (x) = 3^{- x} \otimes 3^{x}$ 的值域为．

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18、 ${(0.25)}^{- 0.5} + {(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}} - 625^{0.25} =$ .

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (cos α, sin α)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| = 3$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $tan α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $tan α = \sqrt{3}$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相反，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标是 $(- \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

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20、设函数 $f (x) = x^{2} + m x + n^{2}$ ， $g (x) = x^{2} + (m + 4) x + n^{2} + 2 m + 4$ ，其中 $x \in R$ ，若对任意 $t \in R$ 及任意 $n \in R$ ， $f (t)$ 和 $g (t)$ 中至少有一个为非负值，则实数 $m$ 的最大值是（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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