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相关试卷

1、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{n} = \frac{S_{n}}{n}$ ，则称数列 $\{b_{n}\}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的“均值数列”．已知数列 $\{b_{n}\}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的“均值数列”，且 $2 b_{1} + 4 b_{2} + 8 b_{3} + \dots + 2^{n} b_{n} = n^{2} + n$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{7} = - \frac{23}{64}$ B、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则 $T_{n}$ 有最大值，无最小值 C、数列 $\{S_{n}\}$ 中没有最大项 D、若对任意 $n \in N *$ ， $m^{2} - \frac{5}{4} m - S_{n} \geq 0$ 成立，则 $m \leq - 1$ 或 $m \geq \frac{9}{4}$

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2、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $sin A : sin B : sin C = 4 : 5 : 6$ ， $D$ 为线段 $A C$ 上一点，则下列判断正确的是（）

A、 $△ A B C$ 为钝角三角形 B、 $△ A B C$ 的最大内角是最小内角的2倍 C、若 $D$ 为 $A C$ 中点，则 $B D : A C = \sqrt{79} : 10$ D、若 $∠ A B D = ∠ C B D$ ，则 $B D : A C = 3 \sqrt{2} : 5$

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3、已知抛物线 $W : x^{2} = 4 y, A, B, C$ 是 $W$ 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ ，则称三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 为抛物线的外切三角形．

(1)、当点 $C$ 的坐标为 $(2, 1), B$ 为坐标原点，且 $B A = B C$ 时，求点 $B^{'}$ 的坐标；

(2)、设外切三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的垂心为 $H$ ，试判断 $H$ 是否在定直线上，若是，求出该定直线；若不是，请说明理由；

(3)、证明：三角形 $A B C$ 与外切三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积之比为定值．

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4、已知函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ ， $x \in R$ ， $c$ 是常数.

(1)、若 $f (x)$ 在 $[\frac{2}{3}, + \infty)$ 存在单调递减区间，求 $c$ 的取值范围.

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处有极大值，求 $c$ 的值.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $(1 - tan A) (1 - tan B) = 2$ ， $b = 3$ ， $a = \sqrt{2}$

(1)、求 $C$ 的值；

(2)、延长 $A B$ 到 $D$ 点，使得 $∠ C D B = ∠ A C B$ ，求 $B D$ 的长度

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6、设直线 $l$ 与球 $O$ 有且只有一个公共点，从直线 $l$ 出发的两个半平面 $α$ ， $β$ 截球 $O$ 的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角 $α - l - β$ 的平面角为 $\frac{π}{3}$ ，则球 $O$ 的半径为.

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7、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A C = B C = C C_{1} = 2$ ， $E$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，过 $A E$ 的截面与棱 $B B_{1}$ 、 $A_{1} C_{1}$ 分别交于点 $F$ 、 $G$ ，则下列说法中正确的是（）

A、存在点 $F$ ，使得 $A_{1} F ⊥ A E$ B、线段 $C_{1} G$ 长度的取值范围是 $[0, 1]$ C、当点 $F$ 与点 $B$ 重合时，四棱锥 $C - A F E G$ 的体积为 $2$ D、设截面 $F E G A$ 、 $△ A E G$ 、 $△ A E F$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则 $\frac{S_{1}^{2}}{S_{2} S_{3}}$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$

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8、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{1} = - 1$ 且 $\forall n \in N^{+}$ ， $a_{n} > a_{n + 2}$ ，则（）

A、 $a_{2} > 0$ B、 $0 < q < 1$ C、 $a_{n} > a_{n + 1}$ D、 $S_{n} < \frac{1}{q - 1}$

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9、设 $A$ ， $B$ 为一个随机试验中的两个事件，且 $P (B) = \frac{1}{3}$ ， $P (\bar{B} | A) = \frac{5}{6}$ ， $P (\bar{B} | \bar{A}) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $P (A + B) = \frac{3}{4}$ B、 $P (A) = \frac{1}{3}$ C、 $P (\bar{A} | B) = \frac{3}{4}$ D、 $P (A B) = \frac{1}{6}$

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10、我国古代数学家李冶在其著作《测圆海镜》中系统地介绍了天元术，即利用未知数列方程的一般方法，与现代数学中列方程的方法基本一致.先“立天元一为……”，相当于“设 $x$ 为……”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，最后通过合并同类项得到方程
$a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n} = 0$ .设 $f (x) = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n}$
若 $f (2) = 5 \cdot 2^{n + 1} - 3 n - 8$ ，则 $f (1) =$ （）

A、 $\frac{3 n^{2} + 4 n}{2}$ B、 $\frac{3 n^{2} + 11 n + 4}{2}$ C、 $\frac{3 n^{2} + 5 n + 4}{2}$ D、 $\frac{3 n^{2} + 7 n + 4}{2}$

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11、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{15} > 0$ ， $S_{16} < 0$ ，则 $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{6}{7}, \frac{7}{8})$ B、 $(\frac{6}{7}, \frac{13}{15})$ C、 $(- \infty, \frac{6}{7}) \cup (\frac{7}{8}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{6}{7}) \cup (\frac{13}{15}, + \infty)$

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12、已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，焦距为 $2 c$ ，直线 $y = \frac{\sqrt{2}}{4} x$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点， $|A B| = 2 c$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、已知 $sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{3}{5}, \frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ ，则 $\frac{sin x}{1 - tan x} =$ （）

A、 $\frac{21}{100}$ B、 $- \frac{21}{100}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{80}$ D、 $- \frac{7 \sqrt{2}}{80}$

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14、已知a､b为异面直线，则下列命题正确的是（）

A、过直线a､b外一点P一定可以作一条与a､b都平行的直线 B、过直线a､b外一点P一定可以作一个与a､b都平行的平面 C、过直线a一定可以作一个与直线b平行的平面 D、过直线a一定可以作一个与直线b垂直的平面

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15、设满足一元线性回归模型的两个变量的 $n$ 对样本数据为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ ，下列统计量中不能刻画数据与直线 $y = b x + a$ 的“整体接近程度”的是（）

A、 $\sum_{i = 1}^{n} |y_{i} - (b x_{i} + a)|$ B、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{|b x_{i} - y_{i} + a|}{\sqrt{b^{2} + 1}}$ C、 $\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - (b x_{i} + a))}^{2}$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{y_{i} - (b x_{i} + a)}{\sqrt{2}}$

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16、已知集合 $A = {x ∣ x < a}$ ， $B = {x ∣ - 2 < x < 1}$ ，且 $A \cup ∁_{R} B = R$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $[- 2, 1]$ D、 $(- 2, + \infty)$

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17、函数 $g (x) = a x + 1 (a > 0)$ ， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ，若 $\forall x_{1} \in [- 1, 1]$ ， $\exists x_{0} \in [- 2, 1]$ 使 $g (x_{1}) = f (x_{0})$ 成立，则 $a$ 的取值范围是．

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18、下列说法错误的是（）

A、若 $A, B, C, D$ 是空间任意四点，则有 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = \vec{0}$ B、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则存在唯一的实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ C、若 $\vec{A B}, \vec{C D}$ 共线，则 $A B / / C D$ D、对空间任意一点 $O$ 与不共线的三点 $A, B, C$ ，若 $\vec{O P} = x \vec{O A} + y \vec{O B} + z \vec{O C}$ （其中 $x, y, z \in R$ ），则 $P, A, B, C$ 四点共面

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19、如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $D = 60 °, D C = 2 A D = 2$ ，将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 折起，使点D到达点P位置，且 $P C ⊥ B C$ ，连接 $P B$ 得三棱锥 $P - A B C$ ，如图2．

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、在线段 $P C$ 上是否存在点M，使平面 $A M B$ 与平面 $M B C$ 的夹角的余弦值为 $\frac{5}{8}$ ，若存在，求出 $\frac{| P M |}{| P C |}$ 的值，若不存在，请说明理由．

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20、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $E$ 在 $B D$ 上，点 $F$ 在 $B_{1} C$ 上，且 $B E = C F$ ，点 $P$ 在线段 $C M$ 上运动，给出下列四个结论：

①当点 $E$ 是 $B D$ 中点时，直线 $E F / /$ 平面 $D C C_{1} D_{1}$ ；
②直线 $B_{1} D_{1}$ 到平面 $C M N$ 的距离是 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ ；
③存在点 $P$ ，使得 $∠ B_{1} P D_{1} = 90^{\circ}$ ；
④ $△ P D D_{1}$ 面积的最小值是 $\frac{5 \sqrt{5}}{6}$ ．
其中所有正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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