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相关试卷

1、若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{3}{y} = 1$ ，则 $3 x + y$ 的最小值为（）

A、 $6$ B、 $12$ C、 $14$ D、 $16$

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2、已知函数 $f (x) = a x - ln (x + a) (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq a - \frac{1}{a}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{n^{2}}{n^{2} a_{n} + 1}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．证明： $S_{2 n} > 2 n - 1$ ．

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3、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2}, x \leq 0 \\ x + \frac{6}{x} - 6, x > 0 \end{matrix}$ 则 $f (f (- 2)) =$ ．

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4、（多选）下列说法中不正确的是（）

A、集合 $\{x |x < 1, x \in N\}$ 为无限集 B、方程 ${(x - 1)}^{2} (x - 2) = 0$ 的解构成的集合的所有子集共4个 C、 $\{(x, y) |x + y = 1\} = \{y |x - y = - 1\}$ D、 $\{y |y = 2 n, n \in Z\} \subseteq \{x |x = 4 k, k \in Z\}$

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5、已知 $- 1 \leq x + y \leq 1$ ， $1 \leq x - y \leq 3$ ，则 $3 x - 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $2 \leq 3 x - 2 y \leq 8$ B、 $3 \leq 3 x - 2 y \leq 8$ C、 $2 \leq 3 x - 2 y \leq 7$ D、 $5 \leq 3 x - 2 y \leq 10$

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6、已知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{2}, 2)$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $a > 0$ B、 $b > 0$ C、 $c > 0$ D、 $a + b + c > 0$

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7、如图，正四面体 $A - B C D$ 的长为1， $\vec{C E} = \frac{1}{3} \vec{C D}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A B} =$ ．

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8、如图，二面角 $α - l - β$ 的大小是60°，线段 $A B \subset α$ . $B \in l$ ， $A B$ 与 $l$ 所成的角为30°.则 $A B$ 与平面 $β$ 所成的角的正弦值是.

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9、已知 $1 < a < 3, - 5 < b < - 2$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a + b$ 的取值范围为 $(- 4, 1)$ B、 $a - b$ 的取值范围为 $(3, 8)$ C、 $a b$ 的取值范围为 $(- 15, - 2)$ D、 $\frac{a}{b}$ 取值范围为 $(- \frac{3}{5}, - \frac{1}{2})$

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10、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (\frac{a}{2} + \frac{2}{a}) x + 1 < 0$ 的解集中恰有3个整数，则正数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $\{a |\frac{1}{3} \leq a < \frac{1}{2}\}$ B、 $\{a |4 < a \leq 6\}$ C、 $\{a |\frac{1}{2} \leq a < \frac{2}{3} 或 6 < a \leq 8\}$ D、 $\{a |\frac{1}{2} \leq a < \frac{3}{4} 或 9 < a \leq 12\}$

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11、同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设 $a$ ， $b \in Z$ ， $m \in N^{*}$ 且 $m > 1$ ．若 $m |(a - b)$ 则称 $a$ 与 $b$ 关于模 $m$ 同余，记作 $a \equiv b (mod m)$ （“|”为整除符号）．例如 $26 \equiv 2 (mod 12)$

(1)、解同余方程 $x^{2} - x \equiv 0 (mod 3)$ ；

(2)、设（1）中方程的所有正根构成数列 $\{a_{n}\}$ ，其中 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < \cdot \cdot \cdot < a_{n}$ ．
①若 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{2024}$ ；
②若 $c_{n} = \tan a_{2 n + 1} \cdot \tan a_{2 n - 1}$ （ $n \in N^{*}$ ），求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |4^{x} - 1|, x < \frac{1}{2} \\ |\log_{2} x|, x \geq \frac{1}{2} \end{array}$ ，若存在实数 $m$ 使得方程 $f (x) = m$ 有四个不同的实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则（）

A、 $f (x_{3} x_{4}) = 0$ B、 $x_{1} + x_{2} < 0$ C、 $x_{2} + f (x_{3}) > 1$ D、 $x_{3} + f (x_{2}) > 1$

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13、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R， $f (1) = 1$ ， $f (3 x + 1)$ 为偶函数，且函数 $y = \frac{1}{2} f (2 x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 对称，则 $\sum_{k = 1}^{2 025} f (k) =$ （）

A、4 048 B、4 049 C、4 051 D、4 054

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14、设函数 $f (x) = a {(e^{x} + e^{- x})}^{2}, g (x) = 4 x^{2} + 2 (a - 1)$ ，若曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 恰有一个公共点，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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15、塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量 $y$ 与自然降解时间（年）之间的关系为 $y = y_{0} \cdot e^{k t}$ ，其中 $y_{0}$ 为初始量， $k$ 为降解系数，已知该种塑料经过 $3$ 年自然降解后的残留量为初始量的 $80 %$ ，则要使得其残留量不超过初始量的 $10 %$ ，该种塑料至少需要自然降解的年数为（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.301$ ）

A、 $30$ B、 $31$ C、 $32$ D、 $33$

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16、下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 及其导函数的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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17、已知函数 $f (x) = 2 \cos (x + \frac{π}{4} + φ)$ 是偶函数，则 $\tan φ$ 的值为

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18、已知集合 $A = \{y | y = 3 x - 1, x \in N\}, B = \{x | x^{2} - 4 x - 5 \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 5]$ B、 $\{2, 5\}$ C、 $\{- 1, 2, 5\}$ D、 $[0, 5]$

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19、给定函数 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ ， $x \in R$ ．

(1)、在同一直角坐标系中画出函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象；

(2)、观察图象，直接写出不等式 ${(x + 1)}^{2} < x + 1$ 的解：

(3)、 $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者，记为 $M (x) = \max \{f (x), g (x)\}$ ．例如，当 $x = 2$ 时， $M (2) = \max \{f (2), g (2)\} = \max \{3, 9\} = 9$ ．请分别用图象法和解析法表示函数 $M (x)$ ．

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20、布罗卡尔点（Brocard’s point）是三角形几何中的一个特殊点.罗卡尔点的发现可以追溯到1816年.由德国数学家克雷尔（A.L.Crelle）首次发现，但当时并未受到广泛关注.直到1875年，法国军官布罗卡尔重新发现了这个点，并用自己的名字命名，从而引起了数学界的广泛关注.它的定义是：若 $△ A B C$ 内一点P满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A$ ，则称P为 $△ A B C$ 的布罗卡尔点.若设 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = θ$ ，则称 $θ$ 为布罗卡尔角.已知 $△ A B C$ 中， $a = \sqrt{3}$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，若P为 $△ A B C$ 的布罗卡尔点，并记 $△ P A B$ 、 $△ P B C$ 、 $△ P A C$ 的外接圆面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，则 $S_{1} S_{2} S_{3} =$ .

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