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相关试卷

1、甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

(1)、求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)、求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率；

(3)、已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P (X_{i} = 1) = 1 - P (X_{i} = 0) = q_{i}, i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ，则 $E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} q_{i}$ ．记前 $n$ 次（即从第1次到第 $n$ 次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E (Y)$ ．

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2、已知空间向量 $\overset{⃑}{a} = (m + 1, m, - 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (- 2, 1, 4)$ ，且 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- \frac{10}{3}$ B、 $- 10$ C、 $10$ D、 $\frac{10}{3}$

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3、判断下列各组直线是否平行，并说明理由．

(1)、 $l_{1}$ 经过点 $A (2, 3), B (- 4, 0)$ ， $l_{2}$ 经过点 $M (- 3, 1), N (- 2, 2)$ ；

(2)、 $l_{1}$ 的斜率为 $- 10$ ， $l_{2}$ 经过点 $A (10, 2), B (20, 3)$ .

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4、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则下列说法正确的是（）

A、直线 $D_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ B、四面体 $B D C_{1} A_{1}$ 的体积是 $\frac{8}{3}$ C、点 $A_{1}$ 到平面 $B D C_{1}$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、平面 $B D A_{1}$ 与平面 $B D C_{1}$ 夹角的正弦值为 $\frac{1}{3}$

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5、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，则“ $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ”是“向量 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、设集合 $M = {x ∣ x \geq 1}$ ，则下列关系中正确的是（）

A、 $2 \subseteq M$ B、 $2 \notin M$ C、 ${2} \subseteq M$ D、 ${1, 2} \in M$

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7、已知矩形 $A B C D$ 的长为2，宽为1.（如图所示）

(1)、若E为DC的中点，将矩形沿BE折起，使得平面 $C^{'} B E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，分别求 $C^{'}$ 到AB和AD的距离.

(2)、在矩形ABCD中，点M是AD的中点、点N是AB的三等分点（靠近A点）.沿折痕MN将 $△ A M N$ 翻折成 $△ A^{'} M N$ ，使平面 $A^{'} M N ⊥$ 平面 $A B C D$ .又点G，H分别在线段NB，CD上，若沿折痕GH将四边形 $G H C B$ 向上翻折，使C与 $A^{'}$ 重合，求线段NG的长.

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8、已知 $\frac{1 - \cos θ}{\sin θ} = 2$ ，则 $\tan θ$ 等于（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9、如图①所示，矩形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $A B = 2$ ，点M是边CD的中点，将 $△ A D M$ 沿AM翻折到 $△ P A M$ ，连接PB，PC，得到图②的四棱锥 $P - A B C M$ ， N为PB中点．

(1)、求证： $N C / /$ 平面 $P A M$ ；

(2)、若平面 $P A M ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线BC与平面 $P M B$ 所成角的大小；

(3)、设 $P - A M - D$ 的大小为θ，若 $θ \in (0, \frac{π}{2}]$ ，求平面 $P A M$ 和平面 $P B C$ 夹角余弦值的最小值．

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10、给定函数 $f (x) = x^{2} - 2, g (x) = - \frac{1}{2} x + 1$ ，用 $M (x)$ 表示函数 $f (x), g (x)$ 中的较大者，即 $M (x) = max \{f (x), g (x)\}$ ，则 $M (x)$ 的最小值为（）

A、0 B、 $\frac{7 - \sqrt{17}}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、2

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11、已知关于x的不等式： $a x^{2} - (3 a + 1) x + 3 < 0$ ．

(1)、当 $a = - 2$ 时，解此不等式；

(2)、当 $a > 0$ 时，解此不等式．

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12、若函数 $f (x)$ 满足：对任意正数 $s, t$ ，都有 $f (s) + f (t) < f (s + t)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“H函数”．

(1)、试判断函数 $f_{1} (x) = x^{2}$ 与 $f_{2} (x) = ln (x + 1)$ 是否为“H函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $y = 3^{x} + x - 3 a$ 是“H函数”，求实数a的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 为“H函数”， $f (1) = 1$ ，对任意正数s、t，都有 $f (s) > 0$ ， $f (t) > 0$ ，证明：对任意 $x \in (2^{k}, 2^{k + 1}) (k \in N)$ ，都有 $f (x) - f (\frac{1}{x}) > \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$ ．

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13、象棋是中国棋文化之一，也是中华民族的文化瑰宝，源远流长，雅俗共赏.某地举办象棋比赛，规定：每一局比赛中胜方得1分，负方得0分，没有平局.

(1)、若甲、乙两名选手进行象棋比赛冠亚军的激烈角逐，每局比赛甲获胜的概率是 $\frac{3}{5}$ ，乙获胜的概率是 $\frac{2}{5}$ ，先得3分者夺冠，比赛结束.
(i)求比赛结束时，恰好进行了3局的概率；
(ii)若前两局甲、乙各胜一局，记 $X$ 表示到比赛结束还需要进行的局数，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、统计发现，本赛季参赛选手总得分 $Y$ 近似地服从正态分布 $N (12.16, 9)$ .若 $μ - σ \leq Y \leq μ + 2 σ$ ，则参赛选手可获得“参赛纪念证书”；若 $Y > μ +$ $2 σ$ ，则参赛选手可获得“优秀参赛选手证书”.若共有200名选手参加本次比赛，试估计获得“参赛纪念证书”的选手人数.(结果保留整数)
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + 3^{n - 1} a_{n} = n \cdot 3^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、对任意 $m \in N^{*}$ ．将数列 $\{a_{n}\}$ 中落入区间 $(2^{m}, 2^{2 m})$ 内的项的个数记为 $b_{m}$ ，求数列 $\{b_{m}\}$ 的前m项和 $T_{m}$ ．

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15、已知函数 $f (x) = 2 (x - 1) e^{x}$ .
（1）若函数 $f (x)$ 在区间 $(a, + \infty)$ 上单调递增，求 $f (a)$ 的取值范围；
（2）设函数 $g (x) = e^{x} - x + p$ ，若存在 $x_{0} \in [1, e]$ ，使不等式 $g (x_{0}) \geq f (x_{0}) - x_{0}$ 成立，求实数 $p$ 的取值范围.

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16、如图，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $\overset{⃑}{A E} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{A B}, \overset{⃑}{D F} = \frac{1}{2} \overset{⃑}{F C}$ ，若 $\overset{⃑}{A F} = λ \overset{⃑}{A C} + μ \overset{⃑}{D E}$ ，则 $λ - μ$ 的值为．

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17、如图，点 $P$ 是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点， $F$ 是线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则（）

A、若点 $P$ 满足 $A P ⊥ B_{1} C$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度为 $4 \sqrt{2}$ B、三棱锥 $A - P B_{1} D_{1}$ 体积的最大值为 $\frac{16}{3}$ C、当直线 $A P$ 与 $A B$ 所成的角为 $45^{\circ}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$ D、当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时，线段 $P F$ 长度最大值为 $2 \sqrt{2}$

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 1$ ， $f (1) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f (x)$ 有最小值 C、 $f (2024) = 2023$ D、 $f (x) + 1$ 是奇函数

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19、定义运算 $|\begin{matrix} m p \\ q n \end{matrix}| = m n - p q$ ．在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足 $|\begin{matrix} a + b + c 3 \\ a + c - b 1 \end{matrix}| = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\sin A + \sin C = 2 \sin B$ B、 $A : C = 1 : 2$ C、角B的最大值为 $\frac{π}{3}$ D、若 $a \sin A = 4 c \sin C$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形

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20、已知函数 $f (x) = x^{3} + \lg (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ ，若当 $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (t \sin^{2} θ) + f (4 t - \sin θ) > 0$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{4})$ B、 $(- \infty, \frac{1}{5})$ C、 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{5}, + \infty)$

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