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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的周长为定值， $O (0, 0)$ 、 $A (- \sqrt{3}, 0)$ 、 $B (\sqrt{3}, 0)$ ， $∠ C$ 的最大值为 $\frac{2π}{3}$ ．

(1)、求动点 $C$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、 $D$ 为 $E$ 的左顶点，过点 $(1, 0)$ 且不与坐标轴垂直的直线与 $E$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点，线段 $M N$ 的中点为 $P$ ，记直线 $O P$ 的斜率为 $k$ ， $△ D M N$ 的外心为 $Q (x_{Q}, y_{Q})$ ，求 $k \cdot x_{Q}$ 的最大值．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足： $3 S_{n} = S_{n - 1} + 2 n + 2 (n \geq 2)$ ， $S_{1} = \frac{4}{3}$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $c_{n} = n [a_{n} + \cos (n π) - 1]$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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3、如图 $A B = A D = 1, A C = 2, B C = \sqrt{5}, \cos ∠ D A B = \frac{3}{5}$ ，点D在平面 $A B C$ 内的射影点H在线段 $A B$ 上，E为 $B D$ 中点，F为 $C E$ 中点．

(1)、证明：平面 $A C E ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、求平面 $A E F$ 与平面 $A D F$ 所成锐二面角的余弦值．

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4、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，其公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\{b_{n}\}$ 为等比数列，其公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $d = q \neq 1$ ， $a_{5} = T_{3}$ ， $S_{9} = T_{6}$ ， $a_{1} = 6$ ．

(1)、求公差 $d$ 和 $b_{1}$ ；

(2)、记 $c_{n} = \frac{b_{n}}{(b_{n + 1} - 1) (b_{n} - 1)}$ ，证明： $c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n} < 1$ ．

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5、已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ ，过点 $M (m, 0)$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $\frac{1}{{|A M|}^{2}} + \frac{1}{{|B M|}^{2}}$ 为定值，则实数 $m$ 的值为．

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6、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} + a_{6} = 27$ ， $S_{6} = 39$ ，则 $S_{2} =$

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7、已知实数 $m > 0$ ，若圆 $O : x^{2} + y^{2} = 9$ 上恰有三个点到直线 $l : y = x + m$ 的距离为 $1$ ，则 $m$ 的值为．

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8、双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点，过C右支上一点 $A (x_{0}, y_{0}) (x_{0} > \sqrt{3})$ 作双曲线的切线交x轴于点 $P (x_{p}, 0)$ ，则（）

A、 $0 < x_{P} < \sqrt{3}$ B、平面上点 $B (4, 1), |A F_{2}| + |A B|$ 的最小值为 $\sqrt{37} - 2 \sqrt{3}$ C、若经过左焦点 $F_{1}$ 的入射光线经过点A，且 $x_{0} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ ，则入射光线与反射光线的夹角为 $\frac{π}{3}$ D、过点 $F_{1}$ 作 $F_{1} H ⊥ A P$ ，垂足为H，则 $| O H | = \sqrt{3}$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2 n - 1$ ，对任意的 $n \in N^{*}$ 成立， $a_{1} = - 1$ ，其前n项和记为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $\{a_{n} + 2 n + 1\}$ 是等比数列 B、 $\{a_{n + 1} - a_{n} + 2\}$ 是等差数列 C、 $a_{n} = 2^{n} - 2 n - 1$ D、存在实数 $λ$ ，使得 $\{S_{n} - {(n + λ)}^{2}\}$ 为等比数列

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10、已知曲线 $C : m x^{2} + n y^{2} = m n$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $m > n > 0$ ，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B、若 $m = 3 n > 0$ ，则C是椭圆，其离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、若 $n > 0 > m$ ，则C是双曲线，其焦点在y轴上 D、若 $m = - 2 n < 0$ ，则C是双曲线，其离心率为 $\sqrt{3}$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{n + 1} \cdot \sqrt{1 + 4 a_{n}^{2}} = a_{n}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 成立，令 $b_{n} = a_{n}^{2} \cdot a_{n + 1}^{2}, S_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{n} < \frac{t}{31}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则整数t的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c, 0)$ ，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线 $A M$ 的斜率为 $\frac{4}{3}$ ，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3}, 1)$ B、 $(0, \frac{1}{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{10}}{10}, 1)$ D、 $(0, \frac{\sqrt{10}}{10}]$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ 对任意的 $m$ 、 $n \in N^{*}$ 恒成立，若 $a_{k} + a_{k + 1} + \dots + a_{k + 9} = 2^{16} - 2^{6}$ ，则 $k =$ （）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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14、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A = 2$ ， $A B = 1$ ，则直线 $P C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$

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15、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n - 25$ ，则当该数列的前n项和 $S_{n}$ 取得最小值时n的值为（）

A、9 B、8 C、8或9 D、7或8

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16、将正奇数按照如图排列，我们将 $3, 7, 13, 21, 31$ ……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）

A、55 B、75 C、111 D、135

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17、若直线 $l_{1} : (m - 1) x + y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : 2 x + m y + 4 = 0$ 平行，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 1$ 或 $2$ C、 $2$ D、 $1$

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18、过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 焦点的直线与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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19、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 b cos C = a c - 2 c cos B$ .

(1)、求 $c$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A B$ 中点， $C D = \sqrt{2}$ ， $∠ A C B = 60^{\circ}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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20、在直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $y = k x + 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $△ A O B$ 的面积的最大值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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