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相关试卷

1、设偶函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增，则满足 $f (2 x - 1) < f (\frac{1}{3})$ 的 $x$ 的范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$ B、 $(- \infty, \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$

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2、已知 $\vec{a} = (1, m - 1)$ ， $\vec{b} = (m, 2)$ ，则“ $m = 2$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充分必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 为 $B_{1} C_{1}$ 中点，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B M}$ 相等的是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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4、直线 $y = \sqrt{3} x + 3$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5、已知集合 $A = {x | - 1 < x - 3 \leq 2}$ ， $B = {x | 3 \leq x < 4}$ ，则 $∁_{A} B =$ （）

A、 ${x | 2 < x < 3$ 或 $4 < x < 5}$ B、 ${x | 2 < x \leq 3$ 或 $4 < x \leq 5}$ C、 ${x | 2 < x < 3$ 或 $4 \leq x \leq 5}$ D、 ${x | 2 < x \leq 3$ 或 $4 \leq x \leq 5}$

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6、在复平面内，复数 $z = (2 - i) (- 1 + i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在正实数 $k$ ，对任意的 $x \in D$ ，总有 $|f (x) - f (- x)| \leq k$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P (k)$ .

(1)、分别判断函数 $f (x) = 2024$ 与 $g (x) = x$ 是否具有性质 $P (1)$ ，并说明理由；

(2)、已知 $y = f (x)$ 为二次函数，且具有性质 $P (2) .$ 求证： $y = f (x)$ 是偶函数；

(3)、已知 $a > 1$ ， $k$ 为给定的正实数，若函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + a) - x$ 具有性质 $P (k)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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8、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $y = f (x)$ ，满足 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ， $f (2023^{2}) = 1$ ，当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) < 0$ .

(1)、求 $f (1)$ 的值；

(2)、用定义证明 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是个增函数；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) + f (x - 2022) < \frac{1}{2}$ .

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9、已知函数 $f (x) = |x + 3 |-| x - 1|$ .

(1)、用分段函数的形式表示该函数；

(2)、在平面直角坐标系中直接画出函数 $y = f (x)$ 的图象；

(3)、若函数 $y = f (x)$ 在区间 $[a - 1, a^{2}] （ a \in R ）$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围.

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10、若定义运算 $a ⊙ b = \{\begin{array}{l} b, a ⩾ b \\ a, a < b \end{array}$ ，则函数 $f (x) = x ⊙ (2 - x)$ 的值域是.

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11、若命题“ $\forall x \in R, k x < x^{2} + k$ 成立”是假命题，则实数 $k$ 的取值范围是．

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12、命题“ $\forall x \in R, m x^{2} - 2 m x + 1 > 0$ ”是真命题，则实数 $m$ 的取值范围为.

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13、函数 $f (x + 1) = x^{2} + 2 x - 3 |x + 1| + 3$ ，则下列函数的图象中关于 $y$ 轴对称的函数有（）

A、 $f （ x ）$ B、 $f （ x - 1 ）$ C、 $f (|x + 1|)$ D、 $f (|x|)$

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14、下列函数中，在区间 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ 上单调递减的函数是（）

A、 $y = sin (x + \frac{π}{4})$ B、 $y = \sqrt{3} sin x - cos x$ C、 $y = |sin 2 x|$ D、 $y = cos (x - \frac{π}{3})$

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15、设函数 $f (x)$ 满足 $f (1 + x) = f (1 - x)$ ，且 $f (x)$ 是 $(1, + \infty)$ 上的增函数，则 $a = f ({0.6}^{\frac{2}{3}})$ ， $b = f ({0.7}^{\frac{2}{3}})$ ， $c = f ({0.7}^{\frac{1}{3}})$ 的大小联系是

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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16、函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + a}$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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17、关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - a x - b - 1 \leq 0$ 的解集是 $[- 2, 5]$ ，那么 $\log_{a} b =$ （）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{3}$

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18、中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（）

A、 $y = x^{0} - 1$ 与 $y = 0$ B、 $y = \sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 2}$ 与 $y = \sqrt{x^{2} - 4}$ C、 $y = x$ 与 $z = \sqrt[3]{y^{3}}$ D、 $y = x^{2} + x$ 与 $y = \frac{x^{3} + x^{2}}{x}$

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19、“ booknote中字母”构成一个集合，该集合的元素个数是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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20、双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ ，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与双曲线的右支交于 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 两点，过 $B_{1}$ 作直线 $B_{1} A_{2}$ 垂直于 $x$ 轴，交曲线 $E$ 的另外一个点为 $A_{2}$ ，过 $A_{2}$ 作平行于 $l$ 的直线交曲线 $E$ 的另外一个点为 $B_{2}$ ，以此类推 $\dots \dots$ ，直线 $B_{n} A_{n + 1}$ 垂直于 $x$ 轴，直线 $A_{n} B_{n} (n \geq 2)$ 平行于 $l$ ，得到点列 $A_{1}, A_{2}, A_{3} \dots; B_{1}, B_{2}, B_{3} \dots$ ；记点 $A_{i} (i = 1, 2, 3 \dots)$ 的坐标为 $(x_{i}, y_{i})$ ．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、若 $l$ 过双曲线 $E$ 的右焦点 $F$ ，证明直线 $A_{1} A_{2}$ 过定点；

(3)、若 $k = 2$ 且 $A_{1}$ 为双曲线右顶点， $M (\sqrt{2}, - 1)$ ，记 $a_{n} = \vec{O M} \cdot \vec{O A_{n}}$ ，求 $a_{10}$ 的值．

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