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相关试卷

1、已知 $f (2^{x}) = x^{2} - 2 x + 3$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、函数 $g (x) = \frac{x^{2} + (a - 2) x + 5 - a}{x - 1}$ ，若对任意 $x_{1} \in [2, 4]$ ，总存在 $x_{2} \in [2, 4]$ ，使 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ 成立，求 $a$ 的取值.

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2、已知函数 $f (x) = - x^{2} - a (b - a) x - b$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 3, 1)$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $a = 1$ 时，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ 在 $R$ 上恒成立，求 $b$ 的取值范围.

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3、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，对任意 $x, y \in R$ 都满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 4$ ，则 $f (- 2024) + f (2024) =$ ．

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4、设 $a = \log_{3} 6, b = 2^{1.2}, c = {0.5}^{1.2}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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5、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\overset{⃑}{A B} = \vec{a}, \overset{⃑}{A D} = \vec{b}, \overset{⃑}{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列正确的是（）

A、 $\overset{⃑}{B M} = \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\overset{⃑}{A C_{1}} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ C、 $A C_{1}$ 的长为 $\sqrt{5}$ D、 $\cos ⟨\overset{⃑}{A B}, \overset{⃑}{A C_{1}}⟩ = \frac{\sqrt{6}}{3}$

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6、古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高 $O P = 4$ ，底面圆的半径为8，M为母线PB的中点，平面与底面的交线 $E F ⊥ A B$ ，则双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{6}{7}$

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7、已知点 $P$ 是直线 $l : 3 x + 4 y - 7 = 0$ 上的动点，过点 $P$ 引圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的两条切线 $P M, P N,$ $M, N$ 为切点，当 $∠ M P N$ 的最大值为 $90^{\circ}$ ，则 $r$ 的值为（）

A、4 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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8、设 $a, b \in R$ ，则“ $\{\begin{array}{l} a + b > 2 \\ a b > 1 \end{array}$ ”是“ $a > 1$ 且 $b > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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9、已知集合 $A = \{x | 1 \leq x < 5\}, B = \{x | 3 < x \leq 7\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x | 1 \leq x \leq 7\}$ B、 $\{x | 3 < x < 5\}$ C、 $\{x | 3 \leq x \leq 5\}$ D、 $\{x | 1 < x \leq 7\}$

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10、记为 $[m]$ 为不超过m的最大整数，设函数 $f (x) = \frac{a^{x}}{1 + a^{x}}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），求 $y = [f (x) - \frac{1}{2}] + [f (- x) - \frac{1}{2}]$ 的值域.

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11、定义在 $(- 1, 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x, y \in (- 1, 1)$ ，都有 $f (y) - f (x) = f (\frac{y - x}{1 - x y})$ ，且当 $x \in (- 1, 0)$ 时， $f (x) < 0$ .

(1)、求证： $f (x)$ 是奇函数；

(2)、判断 $f (\frac{1}{2}) + f (- \frac{1}{3})$ 的正负，并说明理由.

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12、 $10^{1 - lg 2} + ln \frac{1}{\sqrt{e}} + {log}_{4} 7 \cdot {log}_{7} 8 =$ .

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13、下列为真命题的是（）

A、函数 $y = x + \frac{1}{x} (x \neq 0)$ 的最小值为2 B、函数 $y = x + \frac{1}{x - 1} (x > 1)$ 的最小值为3 C、函数 $y = 3 x - \frac{4}{x} (x \leq - 1)$ 的最大值为1 D、函数 $y = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}} (x \in R)$ 的最小值为2

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14、某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为200万元，每生产 $x$ 台，需另投入生产成本 $f (x)$ 万元，且 $f (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + 10 x, 0 \leq x \leq 15 \\ 71 x + \frac{900}{x + 8} - 752, x > 15 \end{array}$ ，当生产5台时需另投入生产成本75万元.若每台设备售价70万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求该企业投资生产这批新型机器的年利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （台）的函数关系式（利润 $=$ 销售额 $-$ 成本）；

(3)、这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.

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15、已知定义域为 $[- 5, 5]$ 的奇函数 $f (x)$ 的图像是一条连续不断的曲线．对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, 5]$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时，总有 $\frac{f (x_{2})}{x_{1}} > \frac{f (x_{1})}{x_{2}}$ ，则满足 $(2 m - 1) f (2 m - 1) \leq (m + 4) f (m + 4)$ 的实数 $m$ 的取值范围为．

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16、△ABC的顶点A的坐标为（1，4），∠B，∠C平分线的方程分别为 $x - 2 y = 0$ 和 $x + y - 1 = 0$ .

(1)、求BC所在直线的方程.

(2)、设 $N (3, - 2)$ ，直线 $l$ 过线段 $A N$ 的中点M且分别交 $x$ 轴与 $y$ 轴的正半轴于点P、Q，O为坐标原点，求△ $P O Q$ 面积最小时直线 $l$ 的方程；.

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17、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ．记向量 $\vec{A B} = \vec{a}$ ，向量 $\vec{A D} = \vec{b}$ ，向量 $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、取 $B_{1} C_{1}$ 的中点M，用向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 来表示向量 $\vec{A M}$ ；

(2)、求向量 $\vec{A C_{1}}$ 和向量 $\vec{B A_{1}}$ 所成角的余弦值．

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18、如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 为线段 $B D_{1}$ 上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（）

A、存在点 $M$ ，使得 $C_{1} M ⊥$ 平面 $A_{1} D B$ B、存在点 $M$ ，使得直线 $A M$ 与直线 $B_{1} C$ 所成的角为 $45^{\circ}$ C、存在点 $M$ ，使得三棱锥 $D_{1} - C_{1} D M$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ D、不存在点 $M$ ，使得 $α > β$ ，其中 $α$ 为二面角 $M - A A_{1} - B$ 的大小， $β$ 为直线 $M A_{1}$ 与直线 $A B$ 所成的角

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19、设 $m \in R$ ，若过定点A的动直线 $x + m y - m = 0$ 和过定点B的动直线 $m x - y - m + 3 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ， AB中点为Q，则 $|P Q|$ 的值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、与m的取值有关

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{2}{9}, - \frac{4}{9}, - \frac{4}{9})$ B、 $(\frac{2}{9}, \frac{4}{9}, \frac{4}{9})$ C、 $(- \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$

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