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1、为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额 $y$ （单位：万元）关于销售利润 $x$ （单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：① $y = k x + b (k > 0)$ ② $y = k \cdot 2^{x} + m (k > 0)$ ③ $y = k {log}_{3} (\frac{x}{3} + 3) + n (k > 0)$

(1)、请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；

(2)、根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？

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2、已知函数 $f (x) = (4 m - m^{2} - 3) x^{2 m}$ 为幂函数，则下列结论正确的为（）

A、 $m = 2$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 为单调递增函数 D、 $f (x)$ 的值域为 $[0, + \infty)$

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3、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B // D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 中点.

(1)、证明： $B E //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $F$ 为棱 $P C$ 上一点，满足 $B F ⊥ A C$ ，求平面 $F A B$ 与平面 $A B P$ 夹角的余弦值.

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4、如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则直线 $B_{1} C_{1}$ 到平面 $A_{1} B C D_{1}$ 的距离是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5、已知点 $A (1, 0)$ ， $B (2, 1)$ ，则直线AB的倾斜角为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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6、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，AC与BD交于点M，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B_{1} M} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$

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7、下列各组函数表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = x + 1, g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ C、 $f (x) = 1, g (x) = x^{0}$ D、 $f (x) = x, g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$

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8、由直线 $x - y - 2 = 0$ 上的一点 $P$ 向圆 ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 引切线，切点为 $Q$ ，则 $|P Q|$ 的最小值为.

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9、已知直线 $l$ 经过点 $A (2, 3, 1)$ ，且 $\vec{n} = (\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$ 是 $l$ 的方向向量，则点 $P (4, 3, 2)$ 到 $l$ 的距离为．

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $|F_{1} F_{2}| = 4$ ，点 $P$ 为 $C$ 上一点，若 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = a$ ， $\cos ∠ P F_{1} F_{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、已知 $\vec{m} = (- 2, t, 5)$ ， $\vec{n} = (3, - 2, t)$ 分别是平面 $α$ ， $β$ 的法向量，且 $α ⊥ β$ ，则t的值为（）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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12、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{2} = 2$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = 2^{n}$ D、若 $b_{n} = \frac{1}{{log}_{2} a_{n + 1} {log}_{2} a_{n + 2}}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前10项和为 $\frac{10}{11}$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 1$ ．

(1)、证明：数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 为等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ；

(3)、若 $S_{n} \leq 2 a_{n} - 4 n - λ$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立．求实数 $λ$ 的取值范围．

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14、1.如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD上一点，且BM⊥PD.

(1)、证明：CD⊥面PAD；

(2)、求点M到平面PAC的距离；

(3)、求二面角 $B - A M - C$ 的余弦值.

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15、已知 $x \in$ R ，则“ $|x - 3| < 1$ ”是“ $- x^{2} - x + 6 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、 $⌈x⌉$ 表示大于或者等于 $x$ 的最小整数， $⌊x⌋$ 表示小于或者等于 $x$ 的最大整数．设 $\{a_{n}\}$ 为 $a_{1} = 1$ 的单调递增数列，且满足 $a_{n + 1}^{2} + 16 a_{n}^{2} + 1 - 2 (a_{n + 1} + 4 a_{n}) - 8 a_{n} a_{n + 1} = 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{2} = 9$ B、 $a_{2025}$ 至多有 $2^{2022}$ 种取值可能 C、 $\frac{1}{\sqrt[4]{a_{1}}} + \frac{1}{\sqrt[4]{a_{2}}} + \dots + \frac{1}{\sqrt[4]{a_{n}}} \leq \sqrt{2} + 2$ D、 $\sum_{k = 1}^{n} (⌊\frac{\sqrt{a_{k}}}{2^{k - 1}}⌋ + ⌈\frac{\sqrt{a_{k}}}{2^{k - 1}}⌉) = 3 n$

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17、已知直线 $l : 3 x - 2 y - 6 = 0$ .

(1)、若直线 $l_{1}$ 过点 $M (1, - 2)$ ，且 $l_{1} ⊥ l$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2} // l$ ，且直线 $l_{2}$ 与直线 $l$ 之间的距离为 $\sqrt{13}$ ，求直线 $l_{2}$ 的方程.

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18、直线 $l : (m + 3) x + (m - 2) y - m - 2 = 0$ ，点 $A (- 2, - 1)$ ， $B (2, - 2)$ ，若 $l$ 与线段AB相交，则 $m$ 的范围为（）

A、 $(- \infty, - 4] \cup [4, + \infty)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $[- \frac{3}{2}, 8]$ D、 $(4, + \infty)$

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19、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} + m x + n$ 的图象过点 $(0, - 1)$ ，且满足 $f (- 1) = f (2)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设函数 $f (x)$ 在 $[a, a + 2]$ 上的最小值为 $h (a)$ ，求 $h (a)$ 的值域；

(3)、若 $x_{0}$ 满足 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $y = f (x)$ 的不动点．函数 $g (x) = f (x) - t x + t$ 有两个不相等的不动点 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1} > 0, x_{2} > 0$ ，求 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}}$ 的最小值．

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20、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数.

(1)、求函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2}$ 图象的对称中心；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 对称，证明： $f (x) + f (2 a - x) = 2 b$ ；

(3)、已知函数 $f (x) = x - \frac{e^{2}}{2} + ln \frac{e^{c} x}{e^{2} - x}$ ，其中 $c > 0$ ，若正数 $a$ ， $b$ 满足 $f (\frac{e^{2}}{2023}) + f (\frac{2 e^{2}}{2023}) + f (\frac{3 e^{2}}{2023}) + \dots + f (\frac{2022 e^{2}}{2023}) \leq 1011 (a + b)$ ，且不等式 $λ (a + 2 c) b \leq 2 a c + a^{2} + 2 b^{2}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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