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相关试卷

1、 $\forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 的较小者，记为 $M (x) = min \{f (x), g (x)\}$ ，若 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $M (2) = - 3$ B、函数 $M (x)$ 有最大值，无最小值 C、不等式 $M (x) \leq - 4$ 的解集是 $(- \infty, - 5]$ D、若 $a, b, c$ 是方程 $M (x) + 1 = 0$ 的三个不同的实数解，则 $a + b + c = 0$

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2、如图，在正六棱柱 $A B C D E F - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 中， $M$ 为 $F F_{1}$ 的中点．设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A F} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{D M}$ ， $\vec{B E_{1}}$ ；

(2)、若 $|\vec{a}| = |\vec{c}| = 2$ 求 $\vec{D M} \cdot \vec{B E_{1}}$ 的值．

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3、已知 $A (- 2, 2), B (4, 5)$ ，若直线 $l : m x + 2 y - 3 m + 6 = 0$ 与线段 $A B$ 相交，则m的值可能为（）

A、 $- 2$ B、4 C、10 D、 $- 10$

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4、在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $P A = A B = B C = 2$ ． M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为．

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5、已知 $m, n$ 是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若 $m ⊥ α, m ⊥ β,$ 则 $α / / β$ ；
②若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ,$ 则 $α / / β$ ；
③若 $m \subset α, n \subset β, m / / n,$ 则 $α / / β$ ；
④若 $m, n$ 是异面直线， $m \subset α, m / / β, n \subset β, n / / α,$ 则 $α / / β$ ．其中真命题是（）

A、①和② B、①和③ C、③和④ D、①和④

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6、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D，E分别是线段 $B_{1} C_{1}$ ， $A_{1} D$ 的中点，设 ${\vec{A A}}_{1} = \vec{a}$ ， $\vec{A B} = \vec{b}$ ， $\vec{A C} = \vec{c}$ .用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{A E} =$ .

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7、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，则下列说法正确的是（）

A、直线 $B C_{1}$ 与 $C A_{1}$ 所成的角为 $90^{\circ}$ B、点 $B$ 与平面 $A C B_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、直线 $B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成的角为 $30^{\circ}$ D、平面 $A C D_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45^{\circ}$

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8、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} - 4 x + y^{2} - 6 y + 12 = 0$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ ， $M$ ， $N$ 分别是圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点， $P$ 为 $x$ 轴上的动点，则点 $P$ 到 $M$ ， $N$ 两点的距离之和的最小值为．

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9、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则“ $f (2) < f (3)$ ”是“ $f (x)$ 是增函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”，如果两个椭圆的”焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，下列问题中（ $C_{1}$ 对应图1， $C_{2}$ 对应图2）.

(1)、判断椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 是否是“相似椭圆”? 若是，求出相似比；若不是，请说明理由；

(2)、证明：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；

(3)、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > b > 0 ），$ 椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a'^{2}} + \frac{y^{2}}{b'^{2}} = 1 （ a^{'} > b^{'} > 0 ）$ 的离心率为 $e^{'}$ ， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 是“相似椭圆”，且 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的相似比为 $k : 1$ ，若 $△ A F_{2} B$ 的面积为 $S$ ，求 $△ A^{'} F_{1}^{'} F_{2}^{'}$ 的面积（用 $e^{'}$ ， $k$ ， $S$ 表示）.

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11、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $E$ 在 $B D$ 上，点 $F$ 在 $B_{1} C$ 上，且 $B E = C F$ ，点 $P$ 在线段 $C M$ 上运动，下列说法正确的有（）

A、当点 $E$ 是 $B D$ 中点时，直线 $E F / /$ 平面 $D C C_{1} D_{1}$ ； B、直线 $B_{1} D_{1}$ 到平面 $C M N$ 的距离是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ； C、存在点 $P$ ，使得 $∠ B_{1} P D_{1} = 90 °$ ； D、 $△ P D D_{1}$ 面积的最小值是 $\frac{5 \sqrt{5}}{6}$

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12、连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（）

A、平行四边形 B、梯形 C、有三条边相等的四边形 D、有一组对角相等的四边形

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13、已知向量 $\vec{a} = (- 2, t, - 1), \vec{b} = (2, 1, 1)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则实数t的取值范围是．

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14、已知空间中三点 $A (0, 1, 0)$ ， $B (2, 2, 0)$ ， $C (- 1, 3, 1)$ ，则（）

A、 $\overset{⃑}{A B}$ 与 $\overset{⃑}{A C}$ 是共线向量 B、与向量 $\overset{⃑}{A B}$ 方向相同的单位向量坐标是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $\overset{⃑}{A B}$ 与 $\overset{⃑}{B C}$ 夹角的余弦值是 $\frac{\sqrt{55}}{11}$ D、 $\overset{⃑}{B C}$ 在 $\overset{⃑}{A B}$ 上的投影向量的模为 $\sqrt{5}$

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, 0), \vec{b} = (0, 1, 1), \vec{c} = (1, 2, 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ B、 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ D、向量 $\vec{c}$ 与向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 共面

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} \leq φ \leq \frac{π}{2}$ ）的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，且图象上相邻两个最高点的距离为 $π$ .

(1)、求 $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的最大值和最小值；

(3)、设 $g (x) = f (c x) (c > 0)$ ，若 $g (x)$ 图象的任意一条对称轴与 $x$ 轴的交点的横坐标不属于区间 $(π, 2 π)$ ，求 $c$ 的取值范围.

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17、如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）

A、图（1）的平均数=中位数=众数 B、图（2）的众数<中位数<平均数 C、图（2）的众数<平均数<中位数 D、图（3）的平均数<中位数<众数

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18、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形，侧棱 $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B$ 垂直于 $A D$ 和 $B C$ ， $S A = A B = B C = 2$ ， $A D = 1$ ． $M$ 是棱 $S B$ 的中点．
（1）求证： $A M / /$ 面 $S C D$ ；
（2）求二面角 $S - C D - M$ 的正弦值；
（3）在线段 $D C$ 上是否存在一点 $N$ 使得 $M N$ 与平面 $S A B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{35}}{7}$ 若存在，请求出 $\frac{D N}{D C}$ 的值，若不存在，请说明理由.

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19、下列事件中， $A, B$ 是相互独立事件的是（）

A、一枚硬币掷两次， $A =$ “第一次为正面”， $B =$ “第二次为反面” B、袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球， $A =$ “第一次摸到白球”， $B =$ “第二次摸到白球” C、掷一枚骰子， $A =$ “出现点数为奇数”， $B =$ “出现点数为3或4” D、掷一枚骰子， $A =$ “出现点数为奇数”， $B =$ “出现点数为偶数”

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20、下面命题正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 B、命题“任意 $x < 1$ ，则 $x^{2} < 1$ ”的否定是“存在 $x < 1$ ，则 $x^{2} \geq 1$ ” $.$ C、设 $x ， y \in R$ ，则“ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 4$ ”的必要而不充分条件 D、设 $a ， b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件

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