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相关试卷

1、某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有 $n$ 只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为 $\frac{1}{2}$ ，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立

(1)、若 $P (X = 5) = P (X = 95)$ ，求数学期望 $E (X)$ ；

(2)、接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 $p$ ，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率 $p$ 与参数 $θ (0 < θ < 1)$ 的取值有关.团队A提出函数模型为 $p = \ln (1 + θ) - \frac{2}{3} θ^{2}$ ，团队B提出函数模型为 $p = \frac{1}{2} (1 - e^{- θ})$ .现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量 $X_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 10)$ 表示第 $i$ 组被感染的白鼠数，将随机变量 $X_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 10)$ 的实验结果 $x_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 10)$ 绘制成频数分布图，如图所示.

（i）试写出事件“ $X_{1} = x_{1}, X_{2} = x_{2}, \cdot \cdot \cdot, X_{10} = x_{10}$ ”发生的概率表达式（用 $p$ 表示，组合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数 $θ = θ_{0}$ 时使得概率 $P (X_{1} = x_{1}, X_{2} = x_{2}, \cdot \cdot \cdot, X_{10} = x_{10})$ 最大，称 $θ_{0}$ 是 $θ$ 的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出 $θ$ 的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据： $\ln \frac{3}{2} \approx 0.4055$ .

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2、二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是 $21 \times 21$ 大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有 $2^{441}$ 种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为 $3 \times 10^{11}$ 秒，那么大约可以用（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3, \lg 3 \approx 0.5$ ）

A、 $10^{117}$ 万年 B、117万年 C、 $10^{205}$ 万年 D、205万年

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3、若函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x) = f (x + \frac{3 π}{2})$ 且 $f (\frac{π}{4} + x) = f (\frac{π}{4} - x) (x \in R)$ ，则称函数 $y = f (x)$ 为“M函数”．

(1)、试判断 $y = sin \frac{4}{3} x$ 是否为“M函数”，并说明理由；

(2)、函数 $g (x)$ 为“M函数”，其在 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{4}]$ 的图象落在直线 $6 x + 8 y + 3 π = 0$ 上，在函数 $g (x)$ 图象上任取一点P，对于定点 $A (2024 π, 0)$ ，求线段AP的最小值；

(3)、函数 $f (x)$ 为“M函数”，且当 $x \in [\frac{π}{4},π]$ 时， $y = sin x$ ，求 $f (x)$ 的解析式；若当 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{5 π}{2}]$ ，关于x的方程 $f (x) = a$ （a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．

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4、亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40~100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示，

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、估计这600名学生成绩的中位数；

(3)、根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在 $[40, 60), [90, 100]$ 的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率．

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5、已知四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A D C = 90^{\circ}, A D // B C, △ A B D$ 为等腰直角三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P A$ 的中点， $A D = 2 B C = 2 \sqrt{2}, P A = 3 P D = 3$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求三棱锥 $B - D E P$ 的体积．

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6、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c， $B \in (\frac{π}{2},π), a = 3, b = 2 c$ ，且 $9 \sin B - 2 \sin C = 2 \sqrt{15}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为.

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7、已知向量 $\vec{a} = (- 22, 90, 28), \vec{b} = (11, - 45, k)$ ，若 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线，则 $k =$ ．

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8、已知函数 $f (x) = \cos 2 x - 2 \sqrt{3} \sin x \cos x$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ； B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{3}$ 对称； C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递减； D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度后所得到的图象与函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象重合．

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9、盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件 $A =$ “两个球颜色相同”， $B =$ “第1次取出的是红球”， $C =$ “第2次取出的是红球”， $D =$ “两个球颜色不同”.则下列说法正确的是（）

A、A与 $B$ 相互独立 B、A与 $D$ 互为对立 C、 $B$ 与 $C$ 互斥 D、 $B$ 与 $D$ 相互独立

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10、已知四面体ABCD的各顶点均在球 $O$ 的球面上，平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D, A B = B C =$ $A C = C D = 2,$ $B C ⊥ C D$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $8 π$ C、 $\frac{28 π}{3}$ D、 $12 π$

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11、已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $2 \sqrt{3} x + 2 y - x y = 0$ ，则当 $x y$ 取得最小值时， $x + 2 y =$ （）

A、 $4 + 8 \sqrt{3}$ B、 $2 + 4 \sqrt{3}$ C、 $3 + 6 \sqrt{3}$ D、 $8 + 6 \sqrt{3}$

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12、设点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ，若直线 $2 x + y - b = 0$ 与线段 $A B$ 相交，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[0, 2]$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $(- 2, 2]$

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13、函数 $f (x) = x^{2} + (a - 1) x + 1$ 有两个零点的充分不必要条件是（）

A、 $a > 3$ B、 $- 1 < a < 3$ C、 $a < - 1$ 或 $a > 3$ D、 $a < 0$

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14、已知 $tan α = \sqrt{2}$ ， $α$ 为第三象限角，则 $\sqrt{2} sin α + cos α =$ （）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- 2 \sqrt{3}$

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15、某同学掷骰子5次，记录了每次骰子出现的点数，则从以下情况中可以判断出这组数据一定没有出现点数6的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、中位数为3，方差为2.8 D、平均数为2，方差为2.4

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16、已知复数 $z = \frac{10 i}{1 - 3 i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $3$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $4$ D、 $5$

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17、在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别为棱 $A D, B B_{1}$ 的中点. 点 $P$ 为正方体表面上的动点，满足 $A_{1} P ⊥ E F$ . 给出下列四个结论：
①线段 $A_{1} P$ 长度的最大值为 $2 \sqrt{3}$ ；
②存在点 $P$ ，使得 $D P // E F$ ；
③存在点 $P$ ，使得 $B_{1} P = D P$ ；
④ $△ E P F$ 是等腰三角形.

其中，所有正确结论的序号是．

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $(a + b) : (a + c) : (b + c) = 9 : 10 : 11$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c = 4 : 5 : 6$ B、 $△ A B C$ 是钝角三角形 C、 $△ A B C$ 的最大内角是最小内角的 $2$ 倍 D、若 $c = 6$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径为 $\frac{8 \sqrt{7}}{7}$

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19、如图所示，已知点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，过点 $G$ 作直线分别交 $A B, A C$ 两边于 $M, N$ 两点，且 $\vec{A M} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = y \vec{A C}$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} + 3}{3}$ B、 $2 \sqrt{2} + 3$ C、4 D、2

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20、已知集合 $A = \{x |3 \leq x < 7\}$ ， $B = \{x |2 < x < 10\}$ ，求： $A \cap B$ ， $∁_{R} (A \cup B)$ ，

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