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相关试卷

1、如图，在平面斜坐标系 $x O y$ 中， $∠ x O y = 60 °$ ，平面上任一点 $P$ 的斜坐标定义如下：若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ （其中 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别为与 $x$ 轴， $y$ 轴同方向的单位向量），则点 $P$ 的斜坐标为 $(x, y)$ ．此时有 $\vec{O A} = (1, 2)$ ， $\vec{O B} = (m, 4)$ ，试在该斜坐标系下探究以下问题：

(1)、若 $m = 3$ ，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值；

(2)、求与 $\vec{O A}$ 垂直的单位向量的坐标．

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2、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 6$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， AC边上的中线为BN，M为BC边上靠近B的四等分点，连接AM交BN于点P．

(1)、用 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A M}$ ，并计算AM的长；

(2)、求∠NPM的余弦值．

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3、已知 $m \in R$ ， $i$ 为虚数单位，复数 $z = m - 6 + (m^{2} + 2 m - 3) i$ .

(1)、若 $z \in R$ ，求m的值；

(2)、若复数z对应的点在第三象限，求m的取值范围.

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4、如图所示，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面 $E B_{1} C_{1} F$ 将三棱柱分成两部分，其中 $V_{1}$ 是三棱台 $A E F - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积， $V_{2}$ 是多面体 $B C F E B_{1} C_{1}$ 的体积，则 $V_{1} : V_{2}$ 的值是．

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5、如图，△ABC中，AB=AC=2，BC= $2 \sqrt{3}$ ，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．

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6、石家庄电视塔坐落于石家庄世纪公园内，为全钢构架.电视塔以“宝石”为创造母体，上､下塔楼由九层塔身相连接，寓意登九天，象征丰厚的古文明孕育出灿烂的现代文明.如图，选取了与石家庄电视塔塔底 $O$ 在同一平面内的三个测量基点 $A, B, C$ ，且在 $A, B, C$ 处测得该塔顶点 $P$ 的仰角分别为 $\frac{π}{6}, \frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{3}, A B = B C = \frac{280 \sqrt{6}}{3}$ 米，则石家庄电视塔的塔高 $O P$ 为米.

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7、设点O是 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则O为 $△ A B C$ 的重心； B、若 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{A B} = (\vec{O B} + \vec{O C}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，则O为 $△ A B C$ 的垂心； C、若 $(\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}) \cdot \vec{B C} = 0, \frac{\vec{B A}}{| \vec{B A} |} \cdot \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形； D、若 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则△BOC与△ABC的面积之比为 $S_{△ B O C} : S_{△ A B C} = 1 : 6$ ．

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8、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1)$ $\vec{b} = (1, t)$ ，则下列说法正确的是（　　）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则t的值为 $- 2$ B、 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值为1 C、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则t的值为2 D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则t的取值范围是 $t < 2$

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9、已知 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ B、 $(- 1, - 1)$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(1, 1)$

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10、已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（）

A、 $(3 + 3 \sqrt{2}) π$ B、 $\frac{(9 + 9 \sqrt{2}) π}{2}$ C、 $(4 + 6 \sqrt{2}) π$ D、 $(6 + 6 \sqrt{2}) π$

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11、在 $△ A B C$ 中，已知 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，则（）

A、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$

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12、如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA^'B^'C^'中， $B^{'} C^{'} = 1, O C^{'} = \sqrt{2}$ ，则该平面图形的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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13、若 $α$ 是第四象限角，则复数 $z = \sin α + i \cos α$ 在复平面内所对应的点在第几象限（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、下列命题中不正确的是（）

A、圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面 B、正四棱锥的侧面都是正三角形 C、用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D、以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台

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15、若有穷数列 $a_{1}, a_{2} \dots a_{n}$ （n是正整数），满足 $a_{1} = a_{n}, a_{2} = a_{n - 1}, \dots, a_{n} = a_{1}$ 即 $a_{i} = a_{n - i + 1}$ （i是正整数，且 $1 \leq i \leq n$ ），就称该数列为“对称数列”．

(1)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 是项数为7的对称数列，且 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ 成等差数列， $b_{1} = 2, b_{4} = 11$ ，试写出 $\{b_{n}\}$ 的每一项；

(2)、已知 $\{c_{n}\}$ 是项数为 $2 k - 1 (k \geq 1)$ 的对称数列，且 $c_{k}, c_{k + 1} \dots c_{2 k - 1}$ 构成首项为50，公差为 $- 4$ 的等差数列，数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 k - 1$ 项和为 $S_{2 k - 1}$ ，则当k为何值时， $S_{2 k - 1}$ 取到最大值？最大值为多少？

(3)、对于给定的正整数 $i > 1$ ，试写出所有项数为 $2 i - 1$ 的对称数列，使得 $1, 2, 2^{2} \dots 2^{i - 1}$ 成为数列中的连续项；当 $i > 2000$ 时，并分别求出所有对称数列的前2024项和 $S_{2024}$ ．

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，过该曲线上的点 $P (3, 1)$ 作不平行于坐标轴的直线 $l_{1}$ 交双曲线的右支于另一点 $Q$ ，作直线 $l_{2} // l_{1}$ 交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限），其渐近线方程为 $x \pm y = 0$ ，且 $| A B | = | P Q |$ ，

(1)、求双曲线方程．

(2)、证明：直线 $Q B$ 过定点.

(3)、当 $P Q$ 的斜率为负数时，求四边形 $A B P Q$ 的面积的取值范围．

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17、书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 $100$ 位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $100$ 位年轻人每天阅读时间的平均数 $\bar{x}$ （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）

(2)、若年轻人每天阅读时间 $X$ 近似地服从正态分布 $N (μ, 100)$ ，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $\bar{x}$ ，求 $P (64 < X \leq 94)$ ；

(3)、为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[80, 90)$ 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 $[80, 90)$ 的人数 $ξ$ 的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则① $P (μ - δ < X \leq μ + δ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 δ < X \leq μ + 2 δ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 δ < X \leq μ + 3 δ) = 0.9973$ ．

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18、如图所示，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B_{1} ⊥ B B_{1}$ ， $C B_{1} ⊥ B B_{1}$ ， $∠ A B B_{1} = ∠ C B B_{1} = 60 °$ ， $A B ⊥ B C$ ， $B B_{1} = 1$ ．

(1)、求二面角 $A - B B_{1} - C$ 的余弦值；

(2)、设E、F分别是棱 $A C$ 、 $A_{1} C_{1}$ 的中点，若 $E F ⊥$ 平面 $A B C$ ，求棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积．

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，满足 $b = a - 2 b \cos C$ ．

(1)、求证： $C = 2 B$ ；

(2)、求 $2 \sin C + \cos B - \sin B$ 的最大值．

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20、用 $1, 2, 3, 4, 5$ 组成没有重复数字的五位数，其中个位数字小于百位数字且百位数字小于万位数字的五位数有n个，则 ${(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + {(1 + x)}^{5} + \dots + {(1 + x)}^{n + 3}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数是．（用数字作答）

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