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相关试卷

1、在 $2023$ 年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．

(1)、现对某时间段 $100$ 名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：
选择甲公司直播间购物
选择乙公司直播间购物
合计
用户年龄段 $19 - 24$ 岁
$40$
$50$
用户年龄段 $25 - 34$ 岁
$30$
合计
请将表格补充完整，并判断是否有 $99.9 %$ 的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？

(2)、若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为 $0.7$ ；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为 $0.8$ ，求小李第二天去乙直播间购物的概率．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$χ^{2}$ 临界值表：
$P (χ^{2} \geq k)$
$0.10$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$k$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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2、甲乙两位同学进行乒乓球单打比赛，约定：①每赢一球得1分；②采用两球换发制，即每比赛二球交换发球权．假设甲发球时甲得分的概率是 $\frac{1}{2}$ ，乙发球时甲得分的概率是 $\frac{2}{5}$ ，各球的结果相互独立．根据抽签结果决定，甲先发球．

(1)、求比赛二球后甲得分的期望；

(2)、求比赛六球后甲得分比乙得分多 $2$ 分的概率．

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3、已知 ${(\sqrt[3]{x^{2}} + 3 x^{2})}^{n}$ 的展开式中，各项系数之和比它的二项式系数之和大992，

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中有理项.

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4、为培养学生对传统文化的兴趣，某市从甲，乙两所学校各抽取100名学生参加传统文化知识竞赛，竞赛成绩分为优秀和非优秀两个等级，成绩统计如下表：
优秀人数
非优秀人数
合计
甲校
60
40
100
乙校
70
30
100
合计
130
70
200
（1）甲，乙两所学校竞赛成绩优秀的频率分别是多少?
（2）能否有95%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异?
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
P $(K^{2} > k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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5、已知集合 $M = {x | 1 \leq x \leq 10, n \in N^{*}}$ ，对它的非空子集 $A$ ，将 $A$ 中每个元素 $k$ 都乘以 ${(- 1)}^{k}$ 再求和，如 $A = {1, 4, 7}$ ，可以求得和为 ${(- 1)}^{1} \times 1 + {(- 1)}^{4} \times 4 + {(- 1)}^{7} \times 7 = - 4$ ，则对 $M$ 的所有非空子集，则这些和的总和为．

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6、已知 $a$ 为正数， $x^{2} {(a x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中各项系数的和为1，则常数项为.

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7、随机变量X服从正态分布 $X ～ N (4, σ^{2})$ ，若 $P (0.5 \leq X \leq 4) = 0.38$ ，则 $P (X \geq 7.5) =$ ．

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8、下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $ξ \sim N (0, 1), φ (x) = P (ξ \leq x)$ ，其中 $x > 0$ ，则 $P (|ξ| > x) = 2 - φ (x)$ B、若事件 $A$ 与 $B$ 互斥，且 $0 < P (B) < 1$ ，则 $P (A |\bar{B}) = \frac{P (A)}{1 - P (B)}$ C、若事件 $B$ 发生，则事件 $A$ 一定发生，且 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1$ 则 $P (A |B) = P (A)$ D、甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为 $\frac{13}{30}$

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9、若 ${(1 - 2 x)}^{2 n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2 n} x^{2 n}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $\sum_{i = 0}^{2 n} |a_{i}| = 1$ C、 $\sum_{i = 0}^{n} {(C_{n}^{i})}^{2} = C_{2 n}^{n}$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} a_{2 i} = \frac{9^{n} + 1}{2}$

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10、4个不同的小球随机投入4个不同的盒子，设随机变量 $X$ 为空盒的个数，下列说法正确的是（）

A、随机变量 $X$ 的取值为 $1, 2, 3$ B、 $P (X = 3) = \frac{1}{64}$ C、 $P (X = 2) = \frac{9}{64}$ D、 $E (X) = \frac{81}{64}$

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11、设A，B为两个随机事件，若 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，下列命题中，正确的是（）

A、若A，B为互斥事件， $P (A + B) = \frac{7}{12}$ B、 $P (A + B) \geq \frac{7}{12}$ C、若 $P (A B) = \frac{1}{12}$ ，则A，B为相互独立事件 D、若A，B为相互独立事件，则 $P (\bar{A} \cdot B) = \frac{1}{2}$

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12、设随机变量 $X ~ N (0, 1), f (x) = P (X ⩾ x)$ ，其中 $x > 0$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $f (2 x) = 2 f (x)$ B、 $f (- x) = 1 - f (x)$ C、 $P (X ⩽ x) = 2 f (x) - 1$ D、 $P (| X | > x) = 2 - f (x)$

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13、 ${(x + 2 y + z)}^{11}$ 的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（）

A、72项 B、75项 C、78项 D、81项

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14、同时抛掷两枚质地均匀的硬币（忽略客观因素对其的影响），如果已经知道有一枚硬币正面朝上，那么这两枚硬币都是正面朝上的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、不确定

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = n^{2} - 1$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、7 D、8

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16、已知 $A_{n}^{2} = C_{n}^{n - 3}$ ，则 $n =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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17、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ， $M, N$ 分别为双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1$ 的左，右顶点， $e_{1}, e_{2}$ 分别为 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的离心率．

(1)、若 $e_{1} e_{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ．
（ⅰ）求 $C_{2}$ 的渐近线方程；
（ⅱ）过点 $G (4, 0)$ 的直线l交 $C_{2}$ 的右支于 $A, B$ 两点， $M A, M B$ 与直线 $x = 1$ 交于 $A_{1}, B_{1}$ 两点，记 $A, B, A_{1}, B_{1}$ 坐标分别为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3}), (x_{4}, y_{4})$ ，求证： $\frac{1}{y_{1}} + \frac{1}{y_{2}} = \frac{1}{y_{3}} + \frac{1}{y_{4}}$ ；

(2)、从 $C_{2}$ 上的动点 $P (x_{0}, y_{0}) (x_{0} \neq \pm a)$ 引 $C_{1}$ 的两条切线，经过两个切点的直线与 $C_{2}$ 的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由．

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18、已知函数 $g (x) = a x^{2} - 2 a x + 1 + b (a > 0)$ 在区间 $[2, 3]$ 上有最大值4和最小值1．设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、若不等式 $f (2^{x}) - k \cdot 2^{x} \geq 0$ 在 $x \in [- 1, 1]$ 上有解，求实数k的取值范围；

(3)、若 $f (|2^{x} - 1|) + k \cdot \frac{2}{|2^{x} - 1|} - 3 k = 0$ 有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - x - 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $f (x) + x - ln x \geq 0$ 恒成立时，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} e^{\frac{1}{i}} > \ln (n + 1) + n$ .

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = 1, a_{n + 1} = S_{n} + 2^{n + 1}, n \in N^{*}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{S_{n}}{2^{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{S_{n}}{3^{n}}, \{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ；
①求 $T_{n}$ ；
②若对任意的正整数n，不等式 $5 - T_{n} < λ \cdot 2^{n}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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	选择甲公司直播间购物	选择乙公司直播间购物	合计
用户年龄段 $19 - 24$ 岁	$40$		$50$
用户年龄段 $25 - 34$ 岁		$30$
合计

$P (χ^{2} \geq k)$	$0.10$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$k$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

	优秀人数	非优秀人数	合计
甲校	60	40	100
乙校	70	30	100
合计	130	70	200

P $(K^{2} > k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828