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相关试卷

1、已知函数 $y = f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数.当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = a x^{2} + 3 x + c$ ( $a ， c$ 为常数)， $f (1) = 1$ .

(1)、当 $- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$ 时，求函数 $y = 2^{f (x)}$ 的值域：

(2)、若函数 $y = f (x)$ 的图像关于点 $(1, 1)$ 中心对称.
①设函数 $g (x) = f (x) - x ， x \in R$ ，求证：函数 $g (x)$ 为周期函数；
②若 $- \frac{9}{8} \leq f (x) \leq \frac{41}{8}$ 对任意 $x \in [m, n]$ 恒成立，求 $n - m$ 的最大值.

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2、某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.

(1)、由频率分布直方图，求出图中 $t$ 的值，并估计考核得分的第60百分位数：

(2)、为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在 $[70, 90)$ 内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自 $[70, 80)$ 和 $[80, 90)$ 的概率：

(3)、现已知直方图中考核得分在 $[70, 80)$ 内的平均数为75，方差为6.25，在 $[80, 90)$ 内的平均数为85，方差为0.5，求得分在 $[70, 90)$ 内的平均数和方差.

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3、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 2$ ，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上的动点， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ P C$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ P B$ ，连接 $A F$ .

(1)、求证： $B C ⊥ A E$ ；

(2)、求证：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(3)、当 $C$ 为弧 $A B$ 的中点时，直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角为 $45^{\circ}$ ，求四棱锥 $A - E F B C$ 的体积.

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4、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ ，函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，且 $f (\frac{π}{6}) = 0$

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式：

(2)、求使 $2 f (x) - 1 \geq 0$ 成立的 $x$ 的取值范围.

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5、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $c sin A + \sqrt{3} a cos C = 0$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 4 ， △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $b$ 和 $c$ .

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6、已知圆 $O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆， $A = \frac{π}{3}, B C = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{A O} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C})$ 的最大值为.

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7、若 $\forall x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，不等式 $x^{2} - a x + 1 \leq 0$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为.

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8、已知 $sin α = \frac{1}{3},$ 则 $cos (α + \frac{π}{2}) =$

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， E$ 是正方形 $A B B_{1} A_{1}$ 的中心， $F$ 是棱 $C D$ (包含顶点) 上的动点，则以下结论正确的是（）

A、 $E F$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ B、不存在点 $F$ ，使 $E F$ 与 $A_{1} D_{1}$ 所成角等于 $30^{\circ}$ C、二面角 $E - A F - B$ 正切值的取值范围为 $[1 ， \sqrt{2}]$ D、当 $F$ 为 $C D$ 中点时，三棱锥 $F - A B E$ 的外接球表面积为 $\frac{25}{4} π$

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10、抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 $A =$ “第一次的点数不大于3 ”， $B =$ “第二次的点数不小于4 ”， $C =$ “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（）

A、事件 $A$ 发生的概率 $P (A) = \frac{1}{2}$ B、事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 C、事件 $C$ 发生的概率 $P (C) = \frac{1}{3}$ D、事件 $A B$ 与事件 $C$ 对立

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11、若复数 $z$ 满足 $i z = 1 - i$ ，下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $- i$ B、 $\bar{z} = - 1 + i$ C、 $|z| = \sqrt{2}$ D、 $z \cdot \bar{z} = z^{2}$

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12、已知函数 $f (x) = x - sin x, a = f (π), b = f (2), c = - f (- \sqrt{3})$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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13、已知正实数 $a, b$ 满足 $a + 4 b = a b$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、4 B、9 C、10 D、20

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14、已知 $△ A B C$ 中， $\vec{A E} = 2 \vec{A B} ， \vec{B M} = 2 \vec{M C}$ ，若 $\vec{A F} = x \vec{A C}$ ，且 $E ， M ， F$ 三点共线，则 $x =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{6}$

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15、设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）

A、若 $m / / α, n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α, α / / β$ ，则 $m / / β$ C、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ D、若 $m ⊥ α, m / / β$ ，则 $α ⊥ β$

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16、已知向量 $\vec{a} = (2 ， 0), \vec{b} = (1 ， 2)$ ，若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、2

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17、已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ ，则“ $α > 0$ ”是“ $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、函数 $f (x) = l n x + x - 2$ 的零点所在的区间为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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19、已知集合 $A = \{- 1, 1, 3\}, B = \{0, 1, 3\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{1, 3\}$ B、 $\{- 1, 1, 3\}$ C、 $\{0, 1, 3\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 3\}$

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20、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120 °$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120 °$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120 °$ 时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，

(1)、若 $c \sin C - a \sin A = (c - b) \sin B$ ，
①求 $A$ ；
②若 $b c = 2$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ；

(2)、若 $cos 2 B + cos 2 C - cos 2 A = 1$ ，设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点， $|P B| + |P C| = t |P A|$ ，求实数 $t$ 的最小值．

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