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相关试卷

1、 $\sin 15^{\circ} \cos 45^{\circ} + \cos 15^{\circ} \sin 135^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2、开启某款保险柜需输入四位密码 $\bar{a_{1} a_{2} a_{3} x_{s}}$ ，其中 $\bar{a_{1} a_{2} a_{3}}$ 为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是 $0 \sim 9$ 中的一个整数）， $x_{s}$ 是根据开启时收到的动态校验钥匙 $s$ （ $s$ 为1~5中的一个随机整数）计算得到的动态校验码. $x_{s}$ 的具体计算方式： $x_{s}$ 是 $M = a_{1} \cdot s^{3} + a_{2} \cdot s^{2} + a_{3} \cdot s$ 的个位数字.例如：若静态密码为 $\bar{301}$ ，动态校验钥匙 $s = 2$ ，则 $M = 3 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2 = 26$ ，从而动态校验码 $x_{2} = 6$ ，进而得到四位开柜密码为 $\bar{3016}$ .

(1)、若用户最终得到的四位开柜密码为 $\bar{2024}$ ，求所有可能的动态校验钥匙 $s$ ；

(2)、若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙 $s = 5$ ，求动态校验码 $x_{s}$ 的概率分布列；

(3)、若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙 $s = i (1 \leq i \leq 5, i \in N)$ 的概率为 $p_{i}$ ，其中 $p_{i}$ 是互不相等的正数.记得到的动态校验码 $x_{s} = k (0 \leq k \leq 9, k \in N)$ 的概率为 $Q_{k}$ ，试比较 $Q_{0}$ 与 $Q_{1}$ 的大小.

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3、已知函数 $f (x) = \sqrt{1 + 2 a x^{2}} - a x sin x$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若 $a = - \frac{1}{2}$ ，求证： $f (x) \leq 1$ ；

(3)、若存在 $x_{0} \in (0, π)$ ，使得对任意 $x \in (0, x_{0})$ ，均有 $f (x) < 1$ ，求正实数 $a$ 的取值范围.

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4、已知 $(3, \frac{5}{2})$ 是双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上一点， $E$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $A (1, 1)$ ，且与 $E$ 的两支分别交于 $P$ ， $Q$ 两点.若 $\frac{|A P| \cdot |A Q|}{|P Q|} = \frac{19 \sqrt{10}}{20}$ ，求直线 $l$ 的斜率.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且满足 $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、若 $a_{1} = 1$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{5}{b_{2}} - \frac{1}{b_{1}} = \frac{3}{4}$ ，且数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = (3 n - 4) \cdot 2^{n + 1} + 8$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

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6、在三棱锥 $P - A B C$ 中，侧面 $P A C$ 是边长为2的等边三角形， $A B = \sqrt{3}$ ， $P B = 2$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ .

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P A C$ 的夹角的余弦值.

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7、一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为.

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8、已知曲线 $C$ ： ${(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3} - 7 \sin^{2} x + 7 \cos^{2} y = 6$ ，下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 过原点 $O$ B、曲线 $C$ 关于 $y = x$ 对称 C、曲线 $C$ 上存在一点 $P$ ，使得 $|O P| = 1$ D、若 $P (x, y)$ 为曲线 $C$ 上一点，则 $|x| + |y| < 3$

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9、函数 $f (x) = e^{x} - a ln x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象过定点 B、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、当 $a = 1$ 时， $f (x) > 2$ 恒成立 D、存在 $a > 0$ ，使得 $f (x)$ 与 $x$ 轴相切

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 都是正项等比数列，则（）

A、数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 是等比数列 B、数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 是等比数列 D、数列 $\{a_{n}^{b_{n}}\}$ 是等比数列

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11、设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} sin (2 π x - 2 π a), & x < a, \\ |x - a - 1| - 3 a + 6, & x \geq a . \end{array}$ 若 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 内恰有6个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2, \frac{7}{2}]$ B、 $(2, 3]$ C、 $(2, \frac{7}{3}] \cup (\frac{5}{2}, \frac{7}{2}]$ D、 $(2, \frac{7}{3}] \cup (\frac{5}{2}, 3]$

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12、已知椭圆 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过上顶点 $A$ 作直线 $A F_{2}$ 交椭圆于另一点 $B$ .若 $|A B| = |F_{1} B|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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13、圆台的高为2，体积为 $14 π$ ，两底面圆的半径比为 $1 : 2$ ，则母线和轴的夹角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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14、研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组： $[2, 4)$ ， $[4, 6)$ ， $[6, 8)$ ， $[8, 10)$ ， $[10, 12)$ ，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（）

A、7 B、7.5 C、7.8 D、8

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15、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - 3 \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{13}$

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16、复数 $z$ 满足 $z = \frac{5}{i - 2}$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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17、已知集合 $\{0, m^{3}\} \subseteq \{0, m, 1\}$ ，则实数 $m$ 的取值集合为.

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18、设在区间 $D$ 上的可导函数 $f (x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，函数 $f^{'} (x)$ 的导函数为 $f^{″} (x)$ .若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”；又当函数 $f^{'} (x)$ 在区间 $D$ 上单调递减时，称函数 $y = f (x)$ 为区间 $D$ 上的“上凸函数”.则（）

A、任何一个三次函数均有“拐点” B、函数 $f (x) = 2 x \cos x - 1$ 为区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上的“上凸函数” C、若函数 $f (x) = x^{3} - 4 a x^{2} - 3 a^{2} x + 2$ 的“拐点”在 $y$ 轴的右侧，则函数 $f (x)$ 在区间 $(a, 4 a)$ 上单调递减 D、若函数 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} a x^{2} + a x - a x \ln x$ 存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则 $a = 8$

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19、魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，若 $D E = F G = 8$ ， $E G = 30$ ， $E H = 16$ ， $G C = 26$ ，则海岛的高为（）

A、16 B、24 C、32 D、40

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20、天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{2}{3}$

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