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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} a^{x} + a, x \geq 1 \\ - a x^{2} + 2 a x - a + 3, x < 1 \end{cases}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若函数 $f (x)$ 的值域为 $R$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{3}]$ B、 $(1, \frac{3}{2}]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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2、函数 $f (x) = \ln |\frac{2 x - 1}{2 x + 1}|$ 在定义域上的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3、权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足 $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{x + y}$ ，当且仅当 $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ 时，等号成立．则函数 $f (x) = \frac{1}{3 x} + \frac{16}{1 - 3 x} (0 < x < \frac{1}{3})$ 的最小值为（）

A、16 B、25 C、36 D、49

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4、已知 $p : x > a, q : x < - 2$ 或 $x > 0$ ，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）

A、 $a \leq - 2$ B、 $a \leq 0$ C、 $a > 0$ D、 $a \geq 0$

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5、若 $a = {(\frac{2}{5})}^{0.1}$ ， $b = {(\frac{2}{5})}^{0.2}$ ， $c = \log_{\frac{2}{5}} 2$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c<a<b$ D、 $a < c < b$

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6、设集合 $A = {x ∣ - 2 < x \leq 4}, B = \{2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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7、拟合和插值都是利用已知的离散数据点来构造一个能够反映数据变化规律的近似函数，并以此预测或估计未知数据的方法．拟合方法在整体上寻求最好地逼近数据，适用于给定数据可能包含误差的情况，比如线性回归就是一种拟合方法；而插值方法要求近似函数经过所有的已知数据点，适用于需要高精度模型的场景，实际应用中常用多项式函数来逼近原函数，我们称之为多项式插值．例如，为了得到 $\sin \frac{1}{2}$ 的近似值，我们对函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} x)$ 进行多项式插值．设一次函数 $L (x) = a x + b$ 满足 $\{\begin{cases} L (0) = f (0) = 0 \\ L (1) = f (1) = 1 \end{cases}$ ，可得 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的一次插值多项式 $L (x) = x$ ，由此可计算出 $\sin \frac{1}{2}$ 的“近似值” $\sin \frac{1}{2} = f (\frac{1}{π}) \approx L (\frac{1}{π}) = \frac{1}{π} \approx 0.32$ ，显然这个“近似值”与真实值的误差较大．为了减小插值估计的误差，除了要求插值函数与原函数在给定节点处的函数值相等，还可要求在部分节点处的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等．满足这种要求的插值多项式称为埃尔米特插值多项式．已知函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{2} x)$ 在 $[0, 1]$ 上的二次埃尔米特插值多项式 $H (x) = a x^{2} + b x + c$ 满足 $\{\begin{array}{l} H (0) = f (0) \\ H (1) = f (1) \\ H^{'} (0) = f^{'} (0) \end{array}$ .

(1)、求 $H (x)$ ，并证明当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) \geq H (x)$ ；

(2)、当 $x \in [0, 1]$ 时， $| f (x) - H (x) | \leq λ x^{2}$ ，求 $λ$ 的取值范围；

(3)、利用 $H (x)$ 计算 $\sin \frac{1}{2}$ 的近似值，并证明其误差不超过0.1．（参考数据： $\frac{1}{π} \approx 0.32$ ， $\frac{1}{π^{2}} \approx 0.10$ ．结果精确到0.01）

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8、已知 $a = \log_{5} 10$ ， $b = \log_{2} 10$ ， $c = \log_{0.06} 10$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a + b > 4$ B、 $4^{b - \frac{1}{a}} \geq 64 \sqrt{2}$ C、 $a (b + 1) > 3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $b + c + b c < 0$

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9、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{2} - x_{1}) \cdot [f (x_{2}) - f (x_{1}) + 2 \ln \frac{x_{1}}{x_{2}}] < 0$ ，且 $f (2) = 4 \ln 2$ ．满足不等式 $f (x - 2022) > 2 \ln (2 x - 4044)$ 的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2022)$ B、 $(2022, 2024)$ C、 $[2022, + \infty)$ D、 $[2024, + \infty)$

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10、如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以 $2 {cm}^{3} / s$ 的速度向该容器内注入溶液，随着时间 $t$ （单位： $s$ ）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当 $t = π$ 时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）

A、 $\frac{\sqrt[3]{150}}{3 π} cm / s$ B、 $\frac{\sqrt[3]{300}}{5 π} cm / s$ C、 $\frac{\sqrt[3]{300}}{6 π} cm / s$ D、 $\frac{\sqrt[3]{150}}{2 π} cm / s$

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11、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $\frac{x}{| x | + 1} < 1$ ，命题 $q : \exists x > 0$ ， $x^{3} < x^{2}$ ，则（）

A、p和q都是真命题 B、 $\neg p$ 和q都是真命题 C、p和 $\neg q$ 都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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12、已知 $a > b$ ，则（）

A、 $a b > b^{2}$ B、 $a^{2} > a b$ C、 $\frac{a + b}{2} > b$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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13、下列命题为真命题的有（）

A、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$ B、不等式 $x^{2} + y^{2} + 1 > 2 (x + y - 2)$ 对任意的x， $y \in R$ 恒成立 C、已知实数a，b满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ D、若关于x的不等式 $x^{2} + m x + 2 > 0$ 的解集是 $(- \infty, 1) \cup (n, + \infty)$ ，则 $m + n = - 1$

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14、已知函数 $f (x) = x^{3} + x + m$ 是定义在区间 $[- 2 - n, 2 n]$ 上的奇函数，则 $m + n =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、4

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15、将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（）

A、22 B、30 C、37 D、46

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16、对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，不等式 $(x - a + ln \frac{x}{a}) (- 2 x^{2} + a x + 10) \leq 0$ 恒成立，则实数 $a =$ .

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17、已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是 $θ_{1} ℃$ ，空气的温度是 $θ_{0} ℃$ ，则 $t min$ 后物体的温度 $θ ℃$ 满足公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ （其中 $k$ 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是 $80 ℃$ 的牛奶放在 $20 ℃$ 空气中，冷却 $2 min$ 后牛奶的温度是 $50 ℃$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $k = ln 2$ B、 $k = 2 ln 2$ C、牛奶的温度降至 $35 ℃$ 还需 $4 min$ D、牛奶的温度降至 $35 ℃$ 还需 $2 min$

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18、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .若 $a_{5} = 7$ ， $a_{10} = 2$ ，则 $S_{14} =$ （）

A、49 B、63 C、70 D、126

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19、若集合 $A = \{x \in Z |\sqrt{x} \leq 2\}$ ， $B = \{x |- 2 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |0 \leq x \leq 3\}$ B、 $\{x |- 2 \leq x \leq 4\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$

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20、计算 ${cos105}^{\circ} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

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