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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{3} + \dots + \frac{a_{n}}{n} = 2 n (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n + 1}}$ .
①求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；
②若不等式 ${(- 1)}^{n} λ < T_{n} + \frac{n}{2^{n}}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} + ln x - a x + a$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \geq x (ln x + 1)$ 对任意的 $x \geq 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、已知集合 $A = \{x |a \leq 2^{x - 1} \leq 4\}$ ，集合 $B = \{x |\log_{3} (2 x + 1) < 2\}$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ ，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、已知“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求a的取值范围．

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4、随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用 $f (x) = \frac{1}{1 + e^{- x}}$ 作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输 $x$ 的 $x$ 满足 $|f (x + 1) - f (x)| < a$ 则提示“可能出现梯度消失”，满足 $|\frac{f (x + 1)}{f (x)}| > b$ 则提示“可能出现梯度爆炸”，其中 $a$ 表示梯度消失阈值， $b$ 表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论：
① $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数；
②当 $b = e$ 时， $\exists x \in R$ ，输入 $x$ 会提示“可能出现梯度爆炸”；
③当 $a = e^{- 5}$ 时， $\forall x \geq 5$ ，输入 $x$ 会提示“可能出现梯度消失”；
④ $\forall a > 0, \exists x \in R$ ，输入 $x$ 会提示“可能出现梯度消失”.
其中所有正确结论的序号是.

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5、若曲线 $y = e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的切线，也是 $y = \ln x + b$ 的切线，则 $b =$ .

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6、若“ $\exists x \in [1, 3]$ ，使得 $x^{2} - m x + 4 \geq 0$ 成立”为假命题，则实数 $m$ 的取值范围是．

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7、设函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 4)$ ，则（）

A、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极小值点 B、 $f (2 + x) + f (2 - x) = - 4$ C、不等式 $- 4 < f (2 x - 1) < 0$ 的解集为 $\{x | 1 < x < 2\}$ D、当 $0 < x < \frac{π}{2}$ 时， $f (sin x) > f ({sin}^{2} x)$

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8、已知正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 2$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $x y \geq 1$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 2$ C、 $\sqrt{x} + \sqrt{y} \geq 2$ D、 $x^{2} + y^{2} \geq 2$

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9、已知项数为 $k (k \in N^{*})$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $\frac{1}{4} a_{n - 1} \leq a_{n} (n = 2, 3, \dots, k)$ ．若 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} = 8$ ，则k的最大值是（）

A、14 B、15 C、16 D、17

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10、若函数 $f (x) = 2 a x - ln x$ 在 $(1, 3)$ 上存在极值点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{6}, \frac{1}{2}]$ B、 $(\frac{1}{6}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{6}] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{6}) \cup (\frac{1}{2}, + \infty)$

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11、已知 $y = {(cos x - a)}^{2} - 1$ ，当 $cos x = - 1$ 时， $y$ 取最大值，当 $cos x = a$ 时， $y$ 取最小值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, 0]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[1, + \infty)$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - 2 a x - a, x < 0 \\ ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) + 1, x \geq 0 \end{cases}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[- 1, 0]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[0, + \infty)$

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13、已知函数 $f (x) = lg (2^{x} + a)$ 的定义域和值域都为 $R$ ，则（）

A、 $a = - 1$ B、 $a = 0$ C、 $a = 1$ D、 $a$ 不存在

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14、设集合 $A = \{x |sin x < \frac{\sqrt{10}}{4}\}, B = \{\frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{\frac{π}{6}\}$ C、 $\{\frac{π}{6}, \frac{π}{4}\}$ D、 $\{\frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}\}$

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15、在棱长为 1 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $E 、 F$ 分别为线段 $B_{1} C ， D_{1} C_{1}$ 的中点，点 $P$ 满足 $\vec{D P} = λ \vec{D D_{1}} + μ \vec{D B} ， λ \in [0, 1], μ \in [0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ + μ = 1$ 时，三棱锥 $D - P E F$ 的体积为定值 B、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ ，四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积是 $\frac{9 π}{4}$ C、 $△ P E F$ 周长的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}$ D、若 $A P = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长为 $\frac{π}{2}$

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16、复数 $Z = i + {2i}^{2} + {3i}^{3} + \cdot \cdot \cdot + 20 {24i}^{2024}$ 的虚部是（）

A、1012 B、1011 C、 $- 1011$ D、 $- 1012$

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17、马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 $n (n \in N^{*})$ 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 $X_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有2个黑球的概率为 $q_{n}$ ，恰有0个黑球的概率为 $r_{n}$ .

(1)、求 $p_{1}, p_{2}$ 的值；

(2)、根据马尔科夫链的知识知道 $p_{n} = a \cdot p_{n - 1} + b \cdot q_{n - 1} + c \cdot r_{n - 1}$ ，其中 $a, b, c \in [0, 1]$ 为常数，同时 $p_{n} + q_{n} + r_{n} = 1$ ，请求出 $p_{n}$ ；

(3)、求证： $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n})$ 为定值.

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18、已知函数 $f (x) = a^{x}, g (x) = a x$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ .

(1)、若 $a = e$ ，试证明： $\forall x \in R, f (x) \geq g (x)$ 恒成立；

(2)、若 $x \in (0, + \infty)$ ，求函数 $h (x) = ln (\frac{g (x)}{f (x)})$ 的单调区间；

(3)、请判断 $π^{\frac{2}{e}}$ 与 $π \cdot \frac{2}{e}$ 的大小，并给出证明.（参考数据： $\frac{2}{e} \approx 0.736, e \approx 2.718, π \approx 3.1416, lnπ \approx 1.145$ ）

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19、如图所示多面体ABCDEF中，平面 $A D E ⊥$ 平面ABCD， $C F ⊥$ 平面ABCD， $△ A D E$ 是正三角形，四边形ABCD是菱形， $A B = 2$ ， $C F = \sqrt{3}$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3} .$

(1)、求证： $E F$ $∥$ 平面ABCD；

(2)、求二面角 $E - A F - C$ 的正弦值.

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20、已知点 $P (0, - \frac{3}{2})$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $M$ 在直线 $A B$ 上，且满足 $\vec{P A} \cdot \vec{A B} = 0, \vec{A M} = 3 \vec{A B}$ .

(1)、当点 $A$ 在 $x$ 轴上移动时，求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、设 $Q$ 为（1）中的曲线 $C$ 上一点，直线 $l$ 过点 $Q$ 且与曲线 $C$ 在点 $Q$ 处的切线垂直， $l$ 与曲线 $C$ 相交于另一点 $R$ ，当 $\vec{O Q} \cdot \vec{O R} = 0$ （ $O$ 为坐标原点）时，求直线 $l$ 的方程.

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