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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = a + 2 i, z_{2} = b + i$ （ $a, b \in R, i$ 为虚数单位）.

(1)、若 $b = 2, z_{1} \cdot z_{2}$ 是纯虚数，求 $|z_{1} - z_{2}|$ 的值；

(2)、若 $z_{1} = {(z_{2})}^{2}$ ，求实数 $a, b$ 的值.

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2、如图所示，直角三角形 $A B C$ 所在平面垂直于平面 $α$ ，一条直角边 $A C$ 在平面 $α$ 内，另一条直角边 $B C$ 长为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 且 $∠ B A C = \frac{π}{6}$ ，若平面 $α$ 上存在点 $P$ ，使得 $△ A B P$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则线段 $C P$ 长度的最小值为．

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3、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $N$ 为 $A B$ 中点， $M$ 为 $B B_{1}$ 中点，则异面直线 $D N$ 与 $C M$ 所成角的余弦值为.

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4、已知样本数据为1，a，b，7，9，且a、b是方程 $x^{2} - 8 x + 15 = 0$ 的两根，则这组样本数据的方差是.

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5、如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中， $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若 $\vec{B P} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则（）

A、 $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ B、 $x + y$ 的最大值为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\vec{B P} \cdot \vec{B C}$ 最大值为9 D、 $\vec{B O} \cdot \vec{D O} = \frac{1}{2}$

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6、如图，在边长为2的正方形 $S G_{1} G_{2} G_{3}$ 中，E，F分别是 $G_{1} G_{2}, G_{2} G_{3}$ 的中点，D是EF的中点，将 $△ S G_{1} E ， △ S G_{3} F$ 分别沿SE，SF折起，使 $G_{1}, G_{3}$ 两点重合于G，下列说法正确的是（）

A、若把 $△ G_{2} E F$ 沿着EF继续折起， $G_{2}$ 与G恰好重合 B、 $S G ⊥ E F$ C、四面体 $S - G E F$ 的外接球体积为 $\sqrt{6} π$ D、点G在面SEF上的射影为△SEF的重心

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7、在 $△ A B C$ 中， $P_{0}$ 是边AB上一定点，满足 $\vec{P_{0} B} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，且对于边AB上任一点P，恒有 $\vec{P B} \cdot \vec{P C} \geq \vec{P_{0} B} \cdot \vec{P_{0} C}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、等腰三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形

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8、灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为 $V = \frac{π}{3} (3 R - h) h^{2}$ ，其中 $R$ 是球的半径， $h$ 是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4 cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取 $π = 3$ ）（）

A、 $32000$ cm³ B、33664 cm³ C、33792 cm³ D、35456 cm³

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9、在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B = 30 ^{\circ}$ ， $c = 2$ ，则“ $b = \sqrt{2}$ ”是“ $∠ C = 45^{\circ}$ ”成立的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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10、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 3 |\vec{b}|$ ，且向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{6} \vec{a}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $120 °$

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11、党的十八大以来，我国把绿色发展理念融入城乡规划建设管理之中，合理布局城市的生产空间、生活空间、生态空间，持续推进城市园林绿化工作．为践行生态文明的理念，某学校全体师生于3月12日开展植树活动，购买了樟树、银杏、桂花、梧桐四种树苗共计800棵，比例如图所示，高一年级师生、高二年级师生、高三年级师生参加植树活动的人数之比为 $4 : 3 : 3$ ，若每种树苗均按各年级师生参加植树人数的比例进行分配，则高二年级师生应分得桂花树苗的数量为（）

A、30棵 B、50棵 C、72棵 D、80棵

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12、将水平放置的 $△ A B C$ 用斜二测画法得到的直观图如图所示，已知 $A^{'} C^{'} = 3$ ， $B^{'} C^{'} = 2$ ，则边 $A B$ 的实际长度为（）

A、 $\sqrt{13}$ B、6 C、5 D、 $\sqrt{40}$

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13、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 为共线向量，且 $\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (- 2, 6)$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、 $- 3$ B、3 C、 $\sqrt{10}$ D、 $3 \sqrt{10}$

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14、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 0$ ，讨论 $f (x)$ 的零点个数.

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15、如图，抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 上异于坐标原点 $O$ 的两不同动点 $A$ 、 $B$ 满足 $O A ⊥ O B$ .

(1)、求证：直线 $A B$ 过定点；

(2)、过点 $A$ ， $B$ 分别作抛物线 $C$ 的切线交于点 $M$ ，求 $△ M A B$ 的面积的最小值.

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16、甲、乙两个工厂加工一批同一型号的零件，甲工厂加工的次品率为 $6 %$ ，乙工厂加工的次品率为 $5 %$ ，现将加工出来的零件混放在一起，其次品率为 $5.25 %$ ；

(1)、求混放在一起的零件中来自甲工厂的零件个数的占比；

(2)、从混放在一起的零件中有放回地抽5个作为样本，记样本中来自甲工厂的零件个数为 $X$ .
（i）求 $X$ 的分布列和数学期望：
（ii）若用样本中来自甲工厂的零件个数的占比，估计总体中来自甲工厂的零件个数的占比，求误差的绝对值不超过0.1的概率.

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17、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，求 $d_{n}$ 及其最小值.

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18、在三棱锥 $A - B C D$ 中，且 $A B = B C = B D = 1$ ， $A D = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $∠ C B A = ∠ D B C = 120 °$ .

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面BCD.

(2)、求二面角 $A - B D - C$ 的余弦值.

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19、已知 $a < 5$ 且 $a e^{5} = 5 e^{a}$ ，则函数 $y = a^{|x - 1|}$ 的单调增区间为.

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ，则 $\frac{\frac{1}{a_{n + 1}} - 1}{\frac{1}{a_{n}} - 1} =$ ；满足 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < 2024$ 的最大整数 $n$ 的值为.

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