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相关试卷

1、某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部
竞选．
（1）设所选3人中女生人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列及数学期望；
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．

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2、投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（ $0 < p < 1$ ）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为 $f (p)$ ，则 $f (p) =$ ；函数 $f (p)$ 取最大值时， $p =$ .

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3、已知随机变量 $X$ 服从正态分布，且 $P (X > 1) = 0.5$ ，若 $Y = 2 X - 1$ ，则 $E (Y) =$ ．

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4、已知离散型随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (8, \frac{1}{2})$ ，则 $D (X) =$ .

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5、已知曲线 $C : m x^{2} + n y^{2} = 1$ ， $(m, n \in R)$ ，则下列结论正确的有（）

A、若 $m = n > 0$ ，则曲线 $C$ 是圆 B、若 $m > n > 0$ ，则曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的椭圆 C、若 $m > 0 > n$ ，则曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的双曲线 D、曲线 $C$ 可能是抛物线

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6、下列说法正确的是（）

A、相关系数r越大，两变量的线性相关程度越强 B、若一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， …， $x_{10}$ 的方差为2，则 $x_{1} + 2$ ， $x_{2} + 2$ ， $x_{3} + 2$ ， …， $x_{10} + 2$ 的方差为2 C、若随机变量X服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ， $P (X \leq 3) = 0.64$ ，则 $P (1 \leq X \leq 2) = 0.14$ D、若 $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B |A) = \frac{1}{4}$ ， $P (\bar{B} |\bar{A}) = \frac{2}{3}$ ，则 $P (B) = \frac{7}{24}$

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7、设随机变量X服从正态分布 $N (3, 4)$ ，则 $P (X < 1 - 3 a) = P (X > a^{2} + 7)$ 成立的一个必要不充分条件是

A、 $a = 1$ 或2 B、 $a = \pm 1$ 或2 C、 $a = 2$ D、 $a = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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8、已知随机变量X服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 0) = 0.1$ ，则 $P (X > 2) =$ （）

A、0.9 B、0.1 C、0.6 D、0.4

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9、五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（）

A、9种 B、36种 C、64种 D、81种

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10、设两个正态分布 $N (μ_{1} ， σ_{1}^{2}) (σ_{1} > 0)$ 和 $N (μ_{2} ， σ_{2}^{2}) (σ_{2} > 0)$ 的密度函数图象如图所示．则有

A、 $μ_{1} < μ_{2}, σ_{1} < σ_{2}$ B、 $μ_{1} < μ_{2}, σ_{1} > σ_{2}$ C、 $μ_{1} > μ_{2}, σ_{1} < σ_{2}$ D、 $μ_{1} > μ_{2}, σ_{1} > σ_{2}$

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11、下列函数求导正确的是（）

A、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(\cos x)}^{'} = \sin x$ C、 ${(e^{- x})}^{'} = e^{- x}$ D、 ${(2 x^{3} + x^{2})}^{'} = 6 x^{2} + 2 x$

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12、已知 $f (x) = {(2 x - 3)}^{n} (n \in N^{*})$ 展开式的二项式系数和为 $512$ ， $f (x) = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} + ... + a_{n} {(x - 1)}^{n}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} = 1$ B、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + ... + n a_{n} = 18$ C、 $a_{2} = 144$ D、 $|a_{0}| + |a_{1}| + ... + |a_{n}| = 3^{9}$

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13、已知定点 $F (0, 1)$ ，动点N在直线 $l : y = - 1$ 上，过点N作l的垂线，该垂线与NF的垂直平分线交于点T，记点T的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知点P、A、B是曲线C上的点，且 $P A ⊥ P B$ ．
（i）若点P的坐标为 $(2 \sqrt{2}, 2)$ ，则动直线AB是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由；
（ii）若 $| P A | = | P B |$ ，求 $△ P A B$ 面积的最小值．

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - a x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当 $x_{1} + x_{2} \in [\frac{3 - e}{e - 1}, \frac{4}{e^{2} - 1}]$ 时，求 $\frac{x_{2} + 1}{x_{1} + 1}$ 的取值范围．

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15、四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D = P C$ ， $∠ D P C = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D = A B = 1$ ， $B C = 2$ ， M为PC的中点，N为PD靠近D的三等分点．

(1)、证明：A、B、M、N四点共面；

(2)、求二面角 $M - A B - P$ 的余弦值；

(3)、求平面ABMN截四棱锥 $P - A B C D$ 所得的上、下几何体的体积比．

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16、已知 $S_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n} + S_{n + 1} = a_{n + 1}^{2}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{(2 a_{n} - 1) (2 a_{n} + 1)}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{1}{3} \leq T_{n} < \frac{1}{2}$ ．

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17、已知点M在直线 $l : 2 x + y + 3 = 0$ 上，点P在圆 $C : x^{2} + {\dot{y}}^{2} - 6 x = 0$ 上，过点M引圆C的两条切线，切点分别为A，B，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为．

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18、已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{3}$ ，其侧面展开图为一个半圆，若一个正方体在该圆锥内可以任意转动，则该正方体棱长的最大值为．

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19、文娱晚会中，学生的节目有4个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则不同排法种数为（用数字作答）．

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20、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，满足 $f (x + y) = f (x) f (y) - f (2 - x) f (2 - y)$ ，且 $f (0) \neq 0$ ， $f (- 2) = 0$ ，则（）

A、 $f (2) = 0$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 ${[f (x)]}^{2} + {[f (2 + x)]}^{2} = 1$ D、 $\sum_{i = 1}^{2023} f (i) = - 1$

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