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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{5}}{5} - \frac{S_{2}}{2} = 6$ ，则 $a_{7} - a_{4} =$ （）

A、9 B、10 C、11 D、12

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2、已知 $z = i (1 - 2 i)$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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3、若方程 $x^{2} + m x + n = 0 (m ， n \in R)$ 有两个不相等的实数根 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 ${(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 4$ ．

(1)、求证： $m^{2} = 4 n + 4$ ；

(2)、若 $m \leq - 4$ ，求 $\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}} - \frac{4}{x_{1} + x_{2}} + \frac{x_{2}^{2}}{x_{1}}$ 的最小值．

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4、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - a x + a = 0, a \in R\}$ ．

(1)、若 $2 \in A$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若命题 $p : \exists x \in A, 2 x^{2} - a x + a = 0$ 为真命题，求实数 $a$ 的值．

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5、若 $a < 0 < b < |a|$ 且 $c < 0$ ，则 $(a + b) \cdot c$ 0．（填“ $>$ ”、“ $=$ ”或“ $<$ ”）

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6、已知a，b为正实数，且 $a > 1, b > 1, (a - 1) (b - 1) = 1$ ，则（）

A、ab的最大值为4 B、 $2 a + b$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $a + b$ 的最小值为 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b - 1}$ 的最小值为2

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7、下列不等式的解集为 $R$ 的是（）

A、 $x^{2} > 0$ B、 $|x| \geq x - 1$ C、 $x^{2} - 3 x - 4 > 0$ D、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 1} \geq 1$

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8、关于x的一元二次方程 $3 x^{2} - a x + 2 a - 5 = 0$ 的两个实数根的平方和为 $\frac{10}{9}$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、8 C、10 D、2或10

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9、若正数 $x, y$ 满足 $\frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 2$ ，则 $3 x + y$ 的最小值是（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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10、已知关于 $x$ 的不等式 $m x > n$ 的解集是 $\{x |x <2\}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $(m x + n) (x −3) >0$ 的解集是（）

A、 ${x | x <2$ 或 $x >3}$ B、 $\{x |2< x <3\}$ C、 ${x | x <−2$ 或 $x >3}$ D、 $\{x |−2< x <3\}$

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11、下列关系中正确的个数是（）
① $\frac{1}{4} \in Z$ ；② $\sqrt{5} \in R$ ；③ $0 \in N^{*}$ ；④ $\sqrt{π} \notin Q$ .

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $D (2, 1)$ ，且 $a = 2 b$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、椭圆C的右顶点和上顶点分别为A，B，P为椭圆C上位于第三象限内的动点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，探究四边形ABNM的面积是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = 2^{n} - \frac{n}{2} - 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、记数列 $\{n (2 a_{n} + 1)\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的表达式．

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14、将矩形面 $A B B_{1} A_{1}$ 绕边 $A A_{1}$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到如图所示几何体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ．已知 $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，点E在线段 $B B_{1}$ 上，P为圆弧 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、当E是线段 $B B_{1}$ 的中点时，求异面直线AE写 $A_{1} C$ 所成角的余弦值；

(2)、在线段 $B B_{1}$ 上是否存在点E，使得 $A E //$ 平面 $A_{1} C P$ ？如果存在，求出线段BE的长，如果不存在，说明理由．

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15、已知平面直角坐标系内的动点 $P (x, y)$ 恒满足：点 $P$ 到定点 $F (2, 0)$ 的距离与它到定直线 $x + 2 = 0$ 的距离相等．

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、过点 $M (8, 0)$ 的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明： $O A ⊥ O B$ ．

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16、已知直线 $l : 2 x - y + m - 2 = 0$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 20$ ．

(1)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 无公共点，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $△ A B C$ （ $C$ 为圆 $C$ 的圆心）为直角三角形，求实数 $m$ 的值．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = λ a_{n} - 4$ （ $λ > 1$ ， $n \in N^{*}$ ），且 $a_{2} + 2$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{2} + 6$ 的等差中项．

(1)、求实数 $λ$ 的值；

(2)、求证：数列 $\{a_{n} - 2\}$ 是等比数列，并求出 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{2} x$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线C的左、右焦点，过 $F_{2}$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，若 $△ M N F_{1}$ 的周长为108，则双曲线C的方程为．

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19、如图，以等腰直角三角形斜边 $B C$ 上的高 $A D$ 为折痕折成四面体 $A B C D$ ．当四面体 $A B C D$ 中满足平面 $A B D ⊥$ 平面 $A C D$ 时，则
（1） $B D ⊥ A C$ ；
（2）平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ；
（3） $△ A B C$ 为等腰直角三角形
以上结论中正确的是（填写你认为正确的结论序号）．

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20、“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点 $O (0, 0)$ ，将军从山脚下的点 $P (1, 1)$ 处出发返回军营，河岸线所在直线方程为 $x - y + 2 = 0$ ．则返回总路程最短为．

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