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相关试卷

1、冬季是流行病的高发季节，大部分流行病是由病毒或细菌引起的，已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据： $\lg 2 \approx 0.3$ ）（）

A、3小时 B、4小时 C、5小时 D、6小时

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2、若 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - 2 x}$ 的最小值是（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、6 C、 $4 \sqrt{2}$ D、9

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3、已知复数 $z$ 满足 $z = - \bar{z} i$ （ $i$ 为虚数单位），且 $|z| = \sqrt{2}$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、 $\sqrt{2} + \sqrt{2} i$ D、 $\sqrt{2} - \sqrt{2} i$

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4、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ， $B = \{x |\frac{3}{x - 1} \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1, 3]$ B、 $(1, 3]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[- 1, 1)$

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5、如图，对于曲线 $Γ$ ，存在圆 $C$ 满足如下条件：
①圆 $C$ 与曲线 $Γ$ 有公共点 $A$ ，且圆心在曲线 $Γ$ 凹的一侧；
②圆 $C$ 与曲线 $Γ$ 在点 $A$ 处有相同的切线；
③曲线 $Γ$ 的导函数在点 $A$ 处的导数（即曲线 $Γ$ 的二阶导数）等于圆 $C$ 在点 $A$ 处的二阶导数（已知圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ 在点 $A (x_{0}, y_{0})$ 处的二阶导数等于 $\frac{r^{2}}{{(b - y_{0})}^{3}}$ ）；
则称圆 $C$ 为曲线 $Γ$ 在 $A$ 点处的曲率圆，其半径 $r$ 称为曲率半径．

(1)、求抛物线 $y = x^{2}$ 在原点的曲率圆的方程；

(2)、求曲线 $y = \frac{1}{x}$ 的曲率半径的最小值；

(3)、若曲线 $y = e^{x}$ 在 $(x_{1}, e^{x_{1}})$ 和 $(x_{2}, e^{x_{2}}) (x_{1} \neq x_{2})$ 处有相同的曲率半径，求证： $x_{1} + x_{2} < - ln 2$ ．

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6、已知 $P$ ， $F$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的公共点和公共焦点，直线 $P F$ 倾斜角为 $60^{\circ}$ ，则双曲线的离心率为．

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7、如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B = B C = C D = \frac{1}{2} A D$ ，点 $E$ 是 $A D$ 的中点．现将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ A^{'} B E$ ，将 $△ D C E$ 沿 $C E$ 翻折到 $△ D^{'} C E$ ，使得二面角 $A^{'} - B E - C$ 等于 $60 °$ ， $D^{'} - C E - B$ 等于 $90 °$ ，则直线 $A^{'} B$ 与平面 $D^{'} C E$ 所成角的余弦值等于．

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8、已知 $k \in N^{*}$ ，集合 $X_{k} = \{x| x = 2^{i_{0}} + 2^{i_{1}} + \cdot \cdot \cdot + 2^{i_{k}}, 0 \leq i_{0} < i_{1} < \dots < i_{k},$ 其中 $i_{0}, i_{1}, \cdot \cdot \cdot, i_{k} \in N\}$ .

(1)、求 $X_{2}$ 中最小的元素；

(2)、设 $a = 2^{1} + 2^{3} \in X_{1}$ ， $b \in X_{1}$ ，且 $a + b \in X_{1}$ ，求 $b$ 的值；

(3)、记 $Y_{k} = X_{k} \cap (2^{k + n - 1}, 2^{k + n}]$ ， $n \in N^{*}$ ，若集合 $Y_{k}$ 中的元素个数为 $b_{n}$ ，求 $\sum_{m = 1}^{k + 1} \frac{b_{m}}{2^{m - 1}}$ .

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9、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点到准线的距离为2，过点 $A (2, 2)$ 作直线交 $C$ 于M，N两点，点 $B (- 1, 1)$ ，记直线 $B M$ ， $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、求 $3 k_{1} k_{2} - 2 (k_{1} + k_{2})$ 的值；

(3)、设直线 $B M$ 交C于另一点Q，求点B到直线 $Q N$ 距离的最大值.

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10、盒中有标记数字1，2的小球各2个.

(1)、若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；

(2)、若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为 $X$ （如1122，则 $X = 2$ ），求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ .

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11、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $∠ C A B = 60 °$ ， $B C ⊥ A P$ .

(1)、证明：平面 $A C P ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $P A = 2$ ， $P B = 4$ ，求二面角 $P - A B - C$ 的平面角的正切值.

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12、已知函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ ，若 $\exists x_{1}, x_{2} \in [\frac{π}{3}, π]$ ， $f (x_{1}) = - 1$ ， $f (x_{2}) = 1$ ，则实数 $ω$ 的取值范围是.

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13、 ${(x^{2} - 2 y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{4} y^{3}$ 的系数是.（用数字作答）

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14、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ， $\frac{a_{1} q^{n}}{1 - q} < 0$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列 C、若数列 $\{S_{n}\}$ 是递增数列，则 $q > 1$ D、若数列 $\{T_{n}\}$ 是递增数列，则 $q > 1$

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15、国家统计局统计了2024年1月全国多个大中城市二手住宅销售价格的分类指数，其中北方和南方各4个城市的90m²及以下二手住宅销售价格的环比数据如下：
北方城市
环比（单位：%，上月=100）
南方城市
环比（单位：%，上月=100）
北京
99.5
上海
99.5
天津
99.6
南京
99.5
石家庄
99.6
南昌
99.6
沈阳
99.7
福州
99.8
则（）

A、4个北方城市的环比数据的极差小于4个南方城市的环比数据的极差 B、4个北方城市的环比数据的均值小于4个南方城市的环比数据的均值 C、4个北方城市的环比数据的方差大于4个南方城市的环比数据的方差 D、4个北方城市的环比数据的中位数大于4个南方城市的环比数据的中位数

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16、已知点A，B，C都在双曲线 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上，且点A，B关于原点对称， $∠ C A B = 90 °$ .过A作垂直于x轴的直线分别交 $Γ$ ， $B C$ 于点M，N.若 $\vec{A N} = 3 \vec{A M}$ ，则双曲线 $Γ$ 的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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17、在边长为4的正三角形 $A B C$ 中，E，F分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，将 $△ A E F$ 沿着 $E F$ 翻折至 $△ A^{'} E F$ ，使得 $A^{'} B ⊥ F C$ ，则四棱锥 $A^{'} - B C F E$ 的外接球的表面积是（）

A、 $8 π$ B、 $12 π$ C、 $16 π$ D、 $32 π$

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18、已知 $x \in (\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})$ ， $\sin (x - \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\tan (2 x + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{24}{7}$ B、 $- \frac{7}{24}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $\frac{24}{7}$

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19、过点 $P (a, b)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 $P A$ ， $A$ 为切点， $|P A| = 1$ ，则 $a + 2 b$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{10}$

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20、已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $\vec{E C} = 2 \vec{B E}$ ， $\vec{D F} = 2 \vec{F C}$ ，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

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北方城市	环比（单位：%，上月=100）	南方城市	环比（单位：%，上月=100）
北京	99.5	上海	99.5
天津	99.6	南京	99.5
石家庄	99.6	南昌	99.6
沈阳	99.7	福州	99.8