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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{sin x - b}{cos x - \sqrt{2}} + a x$ 在 $R$ 上既有最大值 $M$ ，又有最小值 $m$ .若 $M + m = 4$ ，则 $a =$ ， $b =$ .

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2、与向量 $\vec{a} = (2, - 3)$ 共线的一个单位向量的坐标是.

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3、杭州第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成如图1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.会徽的几何图形如图2所示，设弧 $A D$ 的长度是 $l_{1}$ ，弧 $B C$ 的长度是 $l_{2}$ ，几何图形 $A B C D$ 的面积为 $S_{1}$ ，扇形 $B O C$ 的面积为 $S_{2}$ .若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 3$ ，则 $\frac{l_{1}}{l_{2}} =$ .

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4、下列大小关系正确的是（）

A、 ${log}_{0.2} 2023 > {log}_{0.3} 2023$ B、 ${log}_{2022} 2023 > {log}_{2023} 2024$ C、 $\sqrt{2} > {log}_{2} 3$ D、 ${log}_{2} \frac{2024}{2023} > \frac{1}{2023}$

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5、若 $lg a + lg b = lg (a + 2 b)$ ，则（）

A、 $a b$ 的最小值是 $2 \sqrt{2}$ B、 $a + b$ 的最小值是 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{a} - \frac{b}{8}$ 的最大值是0 D、 $\frac{2}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ 的最大值是 $\frac{3}{4}$

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6、已知边长为 $1$ 的正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ .若集合 $P = \{m |m = \vec{A_{1} A_{2}} \cdot \vec{A_{i} A_{j}} (i, j \in \{1, 2, \dots, n\}$ 且 $i \neq j)\}$ ，则（）

A、当 $n = 3$ 时， $P = \{- 1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\}$ B、当 $n = 4$ 时， $P = \{- 1, 1\}$ C、当 $n = 5$ 时， $2 {cos}^{2} 36^{\circ} \in P$ D、当 $n = 6$ 时， $\{0, 1, 2\} \subseteq P$

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7、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ .若 $f (x - \frac{π}{8})$ 为奇函数， $f (x + \frac{π}{8})$ 为偶函数，且 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 上没有最小值，则 $ω$ 的最大值是（）

A、2 B、6 C、10 D、14

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8、某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以 $a %$ 的增长率生长.若经过 $4$ 周后，该植物的长度是原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，则再经过 $6$ 周，该植物的长度大约是原来的（）

A、 $\frac{9 \sqrt{6}}{2}$ 倍 B、 $\frac{9 \sqrt{6}}{4}$ 倍 C、 $\frac{9 \sqrt{6}}{8}$ 倍 D、 $\frac{9 \sqrt{6}}{16}$ 倍

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9、若函数 $f (x) = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x - |x - a|}$ 为偶函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq - 3$ B、 $a \geq 3$ C、 $- 3 \leq a \leq 3$ D、 $a \leq - 3$ 或 $a \geq 3$

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10、已知菱形 $A B C D$ 的边长为1，若 $∠ B A D = 60 °$ ，则 $|\vec{A B} + 2 \vec{B C}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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11、“ $\frac{b}{a} < 1$ ”是“ $a < b < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、为了得到函数 $y = sin x$ 的图象，可以将函数 $y = sin (x + \frac{1}{4})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{1}{4}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{1}{4}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{1}{8}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{1}{8}$ 个单位长度

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13、若集合 $M = \{x |3^{x} < 81\}$ ， $N = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $M \cap N$ 的子集个数是（）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $16$ D、 $32$

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14、“风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史．相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝；到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成．如图（1）就是一个由菱形的风筝面ABCD和两个直角三角形尾翼 $△ A D Q$ 和 $△ C D P$ 所组成的风筝．其中 $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $P D ⊥ C D$ ， $Q D ⊥ A D$ ， $A D = 1$ ， $P D = Q D = \sqrt{2}$ ．现将此风筝的两个尾翼分别沿 $A D 、 C D$ 折起，使得点P与点Q重合于点S，并连结 $B S$ ，得到如图（2）所示的四棱锥 $S - A B C D$ ．

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $S B D$ ；

(2)、若E为棱 $S A$ 上一点，记 $\frac{|S E|}{|S A|} = λ (0 \leq λ \leq 1)$
①若 $λ = \frac{1}{3}$ 求直线 $C E$ 与平面 $S B D$ 所成角的正切值；
②是否存在点E使得直线 $C E$ 与直线 $A D$ 所成角为 $60 °$ ，若存在请求出 $λ$ 的值，若不存在请说明理由．

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15、如图在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 30 °$ ， $A B = 2 A D = 4$ ， $E 、 F$ 分别为 $A B$ 和 $B C$ 上的动点（包含端点），且 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{B F} = μ \vec{B C}$ ．

(1)、若 $λ = μ = \frac{1}{2}$
①请用 $\vec{A F}$ ， $\vec{D E}$ 表示 $\vec{A B}$
②设 $A F$ 与 $D E$ 相交于点 $G$ ，求 $\frac{|\vec{A G}|}{|\vec{A F}|}$

(2)、若 $λ + μ = 1$ ，求 $\vec{A F} \cdot \vec{D E}$ 的取值范围．

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16、欧拉公式： $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （ $i$ 为虚数单位， $x \in R$ ），是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”．

(1)、根据欧拉公式计算 $e^{\frac{2}{3} πi}$ ；

(2)、设函数 $f (x) = {(e^{i x} + e^{- i x})}^{2} + {(e^{i x} - e^{- i x})}^{2}$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 上的值域．

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17、如图在三棱台 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中，四边形 $A C C^{'} A^{'}$ 是等腰梯形，平面 $A C C^{'} A^{'} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A^{'} A C = 45 °$ ， $A B = B C = A C = 2 A^{'} C^{'} = 2$ ．

(1)、求三棱台 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的体积；

(2)、求平面 $A^{'} B C$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值．

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18、已知钝角 $△ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则下列命题中正确的是（）

A、 $\sin A > \sin B$ B、 $\cos A > \sin B$ C、 $\cos A < \cos B$ D、 $\sin A < \cos B$

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19、设A、B、C是函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ 与函数 $g (x) = \cos (\frac{5 π}{6} - ω x) (ω > 0)$ 的图象连续相邻的三个交点，若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3} π)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} π, + \infty)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2} π)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} π, + \infty)$

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20、已知 $A 、 B 、 C$ 三点在以 $O$ 为圆心，1为半径的圆上运动，且 $A C ⊥ B C$ ，为圆 $O$ 所在平面内一点，且 $|O M| = 2$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $|\vec{M C}|$ 的最小值是1 B、 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 为定值 C、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最大值是10 D、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最小值是8

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