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相关试卷

1、我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一斤．问本持金几何？“其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为总量的 $\frac{1}{2}$ ，第2关收税金为剩余的 $\frac{1}{3}$ ，第3关收税金为剩余的 $\frac{1}{4}$ ，第4关收税金为剩余的 $\frac{1}{5}$ ，第5关收税金为剩余的 $\frac{1}{6}$ ， 5关所收税金之和恰好重1斤，问原本持金多少？假设原本持金 $x$ 斤，则 $x =$ 斤．

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2、在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列 ${a_{n}}$ 是等和数列，且 $a_{1} = - 2$ ， $a_{2022} = 8$ ，则这个数列的前2022项的和为．

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3、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + \frac{1}{2}$ ，且 ${a_{n}}$ 前8项和为761，则 $a_{1} =$ ．

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4、已知数列 ${a_{n}}$ 对任意的整数 $n \geq 3$ ，都有 $n^{2} a_{n - 2} a_{n + 2} = (n^{2} - 4) a_{n}^{2}$ ，则下列说法中正确的有（）

A、若 $a_{2} = 2, a_{4} = 2$ ，则 $a_{6} = 2$ B、若 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 3$ ，则 $a_{2 n + 1} = 2 n + 1 (n \in N)$ C、数列 ${a_{n}}$ 可以是等差数列 D、数列 ${a_{n}}$ 可以是等比数列

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5、南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有 $1$ 个球，第二层有 $3$ 个球，第三层有 $6$ 个球，…，设各层球数构成一个数列 ${a_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 12$ B、 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ C、 $a_{100} = 5050$ D、 $2 a_{n + 1} = a_{n} \cdot a_{n + 2}$

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6、设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} > 0, a_{2} = \frac{2}{21}$ ， $3 a_{n + 1} = 2 S_{n} S_{n + 1}$ ，则（）

A、 $a_{1} = \frac{1}{3}$ B、数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 是公差为 $\frac{2}{3}$ 的等差数列 C、数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前5项和最大 D、 $a_{n} = \frac{6}{(2 n - 11) (2 n - 13)}$

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7、设数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{2} a_{4} = 4 a_{3} + 1$ ，若数列 ${a_{n}}$ 是单调递增数列，则实数b的取值范围为（）.

A、 $(- 3, + \infty)$ B、 $(- 2, + \infty)$ C、 $[- 2, + \infty)$ D、 $[- 3, + ∞)$

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8、已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{1} = 5$ ， $S_{5} = 15$ ，则数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n}}}$ 中（）

A、有最大项，无最小项 B、有最小项，无最大项 C、有最大项，有最小项 D、无最大项，无最小项

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9、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, a_{2} = - 3$ .数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})$ .若 $\{b_{n}\}$ 是公差为1的等差数列，则 $\{b_{n}\}$ 的通项公式为 $b_{n} =$ ， $a_{n}$ 的最小值为.

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10、已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} + λ$ $(n \in N^{*})$ ，其中 $λ \in R$ ，下列说法正确的有（）

A、当 $a_{1} = 2, λ = \frac{5}{4}$ 时， $a_{n} \geq n + 1$ B、当 $λ \in [\frac{1}{4}, + ∞)$ 时，数列 ${a_{n}}$ 是递增数列 C、当 $λ = - 2$ 时，若数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，则 $a_{1} \in (- ∞, - 3) \cup (1, + ∞)$ D、当 $a_{1} = 3, λ = 0$ 时， $\frac{1}{a_{1} + 2} + \frac{1}{a_{2} + 2} + ⋯ + \frac{1}{a_{n} + 2} < \frac{1}{3}$

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11、已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，记 $T_{n} = a_{1} a_{2} a_{3} ⋯ a_{n}$ ， $S_{n} = b_{1} + b_{2} + b_{3} + ⋯ + b_{n}$ ，若 $\frac{1}{T_{n}} + \frac{1}{a_{n}} = 1$ 且 $b_{n} = \frac{1}{T_{n} T_{n + 1}}$ 则下列说法正确的是（）

A、 $T_{12} = 12$ B、数列 ${a_{n}}$ 中的最大项为 $2$ C、 $S_{10} = \frac{10}{11}$ D、 $S_{n} < \frac{1}{2}$

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12、正整数 $1, 2, 3, ⋯, n$ 的倒数的和 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n}$ 已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当 $n$ 很大时， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} \approx l n n + γ$ .其中 $γ$ 称为欧拉-马歇罗尼常数， $γ \approx 0.577215664901 ⋯$ ，至今为止都不确定 $γ$ 是有理数还是无理数.设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，用上式计算 $[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{2024}]$ 的值为（）
（参考数据： $l n 2 \approx 0.69$ ， $l n 3 \approx 1.10$ ， $l n 10 \approx 2.30$ ）

A、10 B、9 C、8 D、7

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13、在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} > 0, a_{1} = 1, a_{2} = \sqrt{2}$ ，若对 $\forall n \in N^{*}, a_{n}^{2} + a_{n + 1}^{2} + a_{n + 2}^{2} = 10$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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14、已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{5}{2} - \frac{1}{a_{n}}$ ，若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} - 2}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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15、函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上不恒为零的可导函数，对任意的x ， $y \in R$ 均满足： $(x + y) \cdot f (x) f (y) = x y \cdot f (x + y)$ ， $f (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (2) = 8$ C、 $f^{'} (1) = 4$ D、 $\sum_{k = 1}^{n} f (k) = (n - 1) \cdot 2^{n + 1} + 2$

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16、分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心圈的个数为 $a_{n}$ ，黑心圈的个数为 $b_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{3} = 5$ B、 $b_{3} = 2$ C、数列 ${a_{n} - b_{n}}$ 为等比数列 D、图②中第2023行的黑心圈的个数是 $\frac{3^{2022} - 1}{2}$

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17、已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 均有 $a_{n + 1} = a_{n} + b_{n}, b_{n + 1} = b_{n} + 2$ .若 $a_{1} = b_{1} = 3$ ，则 $a_{24} =$ （）

A、530 B、531 C、578 D、579

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18、如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共 $S_{n}$ 个球，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知 $S_{20} = 1540$ ，则 $\sum_{n = 1}^{20} n^{2} =$ （）

A、2290 B、2540 C、2650 D、2870

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19、已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，则数列 ${\frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n} + 2)}}$ 的前100项和 $T_{100} =$ ．

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20、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + 9 a_{3} + … + 3^{n - 1} a_{n} = \frac{n + 1}{3}$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则满足 $S_{n} < k$ 的实数 $k$ 的最小值为．

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