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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x (2 - \ln x)$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $(e^{2}, f (e^{2}))$ 处切线方程；

(3)、若 $f (x) = m$ 有两解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $2 e < x_{1} + x_{2} < e^{2}$ ．

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2、已知 $A (0, 3)$ 和 $P (3, \frac{3}{2})$ 是椭圆Γ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上两点，O是坐标原点.

(1)、求椭圆Γ的离心率；

(2)、若过点P的直线 $l$ 交Γ于另一点B，且 $△ A B P$ 的面积为9，求直线 $l$ 的方程：

(3)、过 $O A$ 中点 $C$ 的动直线与椭圆Γ有两个交点M，N，试判断在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\vec{T M} \cdot \vec{T N} \leq 0$ .若存在，求出 $T$ 点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由.

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3、如图，已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， $A A_{1} = 3$ ，且 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点P、Q分别是棱 $B B_{1}, D D_{1}$ 的中点.

(1)、在底面 $A B C D$ 内是否存在点 $M$ ，满足 $C_{1} M ⊥$ 平面 $C P Q$ ?若存在，请说明点 $M$ 的位置，若不存在，请说明理由；

(2)、设平面 $C P Q$ 交棱 $A A_{1}$ 于点T，平面 $C P T Q$ 将四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 分成上，下两部分，求 $C T$ 与平面 $C D D_{1} C_{1}$ 所成角的正弦值.

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4、已知 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a : b : c = 2 : 3 : 4$ .

(1)、求 $\cos A$ ；

(2)、若点 $D$ 为 $A B$ 的中点，且 $C D = \sqrt{10}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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5、在公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{5}$ 是 $a_{2}$ 与 $a_{14}$ 的等比中项.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ， $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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6、在 $n$ 维空间中 $(n \geq 2, n \in N)$ ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 $n$ 维坐标 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\} (1 \leq i \leq n, i \in N)$ .定义：在 $n$ 维空间中两点 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 与 $(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ 的曼哈顿距离为 $|a_{1} - b_{1}| + |a_{2} - b_{2}| + \dots + |a_{n} - b_{n}|$ .在 $5$ 维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量 $X$ 为所取两点间的曼哈顿距离，则 $E (X) =$ .

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7、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ，若 $C$ 上存在三点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}$ ，且 $F$ 为 $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 的重心，则 $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 三边中线长之和为．

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8、在 $△ A B C$ 中，已知 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9$ ， $\sin B = \cos A \sin C$ ， $S_{△ A B C} = 6$ ， $P$ 为线段 $A B$ 上的点，且 $\vec{C P} = x \vec{\frac{C A}{|\vec{C A}|}} + y \vec{\frac{C B}{|\vec{C B}|}}$ ，则 $\frac{y}{4 x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{2}$ 的最小值为.

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9、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = ∠ B A D = 60^{\circ}$ ， E为棱 $C C_{1}$ 上一点，且 $\vec{C_{1} E} = 2 \vec{E C}$ ，则（）

A、 $B D_{1} = \sqrt{2}$ B、直线 $B D_{1}$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $A_{1} E ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ D、直线 $B D_{1}$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{4}$

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10、已知 $X \sim N (2, 9)$ ，则（）

A、 $E (X) = 2$ B、 $D (X) = 3$ C、 $P (X \geq 8) > P (X \leq - 1)$ D、 $P (X \leq - 1) + P (X \leq 5) = 1$

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11、已知不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $\{x |\frac{1}{t} < x < t, t > 1\}$ ，则（）

A、 $a > c > 0$ B、 $b < - 2 a < 0$ C、 $(\frac{1}{4} a + \frac{1}{2} b + c) (4 a + 2 b + c) \geq 0$ D、 ${(\frac{1}{t} + t)}^{2} - 2 > \frac{1}{t} + t$

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12、设 $a = e^{0.1} - 1$ ， $b = \frac{1}{11}$ ， $c = \ln 1.1$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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13、将函数 $g (x) = \cos (ω x + \frac{π}{12}) (ω \in N^{*})$ 的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标变为原来的2倍，得到函数 $f (x)$ 的图象，若 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上只有一个极大值点，则ω的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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14、如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且 $A B = \sqrt{2} C D = 550 m$ ，则顶端 $P$ 到桥面的距离为（）

A、50m B、 $50 \sqrt{2} m$ C、55m D、 $55 \sqrt{2} m$

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15、将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（）

A、20种 B、40种 C、80种 D、160种

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16、北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有 $a b, (a = b + 1)$ 个小球，第二层有 $(a + 1) (b + 1)$ 个小球，第三层有 $(a + 2) (b + 2)$ 个小球.....依此类推，最底层有 $c d$ 个小球，共有 $n$ 层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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17、已知向量 $\vec{a} = (2, x)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{b} - \vec{a})$ ，则 $x =$ （）

A、2 B、0 C、1 D、-2

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18、已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 3 - 4 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、5

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19、设集合 $M = \{x |0 \leq x < 4\}$ ，则 $N = \{x |\frac{1}{3} \leq x \leq 5\}$ ，则 $M \cap N$ 等于（）

A、 $\{x |0 < x \leq \frac{1}{3}\}$ B、 $\{x |\frac{1}{3} \leq x < 4\}$ C、 $\{x |4 \leq x < 5\}$ D、 $\{x |0 < x \leq 5\}$

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20、法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，满足 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 120^{\circ}$ 的点 $O$ 为费马点；
②当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $120^{\circ}$ 时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题：
已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，点 $M$ 为 $△ A B C$ 的费马点，且 $cos 2 A + cos 2 B - cos 2 C = 1$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = 4$ ，求 $|M A| \cdot |M B| + |M B| \cdot |M C| + |M C| \cdot |M A|$ 的最大值；

(3)、若 $|M A| + |M B| = t |M C|$ ，求实数 $t$ 的最小值.

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