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相关试卷

1、设 $x \in R$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.5]= 1,[- 1.5] = - 2$ ，记 ${x} = x - [x]$ .则下列说法正确的有（）

A、 $\forall x \in R, n \in Z$ ，都有 $[n + x] = n + [x]$ B、 $\forall x, y \in R$ ，都有 $[x y] \geq [x] [y]$ C、 $\forall x \in R, n \in N^{*}$ ，都有 $[\frac{x}{n}] = [\frac{[x]}{n}]$ D、若存在实数 $x$ ，使得 $[x] = 1, [x^{2}] = 2, [x^{3}] = 3, ..., [x^{n}] = n$ 同时成立，则正整数 $n$ 的最大值为4.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - 1}{4^{x} + 1} + x^{3}$ ，则不等式 $f (2 x - 1) + f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{3})$

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3、已知 $a, b, c$ 为正数，且 $a + 2 b + c = 2$ ，则 $\frac{1}{a + b} + \frac{4}{b + c}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{9}{4}$

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4、已知命题p： $\exists x \geq 0$ ， $x + \frac{1}{x + 1} < 1$ ，则（）

A、命题p的否定为 $\forall x \geq 0$ ， $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ ，且p是真命题 B、命题p的否定为 $\exists x \geq 0$ ， $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ ，且p是真命题 C、命题p的否定为 $\forall x \geq 0$ ， $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ ，且p是假命题 D、命题p的否定为 $\forall x < 0$ ， $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ ， p是假命题

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5、已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ . 现已画出函数 $f (x)$ 在 $y$ 轴左侧的图象，如图所示：

(1)、请补全函数 $y = f (x)$ 的图象；

(2)、根据图象写出函数 $y = f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、求出函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上的解析式．

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6、“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 $P (x, y)$ 是阴影部分（包部边界）的动点．则 $\frac{y}{x - 2}$ 的最小值为（）

A、-1 B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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7、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (1, 2)$ 和 $B (5, - 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $2 x + y = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、圆 $C$ 与直线 $4 x + 3 y - 3 = 0$ 相交于 $M ， N$ 两点，求 $| M N |$ 的值.

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8、由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合 $A$ ，先从集合 $A$ 中随机取一个数 $a$ ，取出后把 $a$ 放回集合 $A$ ，然后再从集合 $A$ 中随机取出一个数 $b$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{1}{3}$ 的概率为．

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9、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上的动点，则（）

A、当 $B_{1} P = 2 P C$ 时， $A P = \frac{2 \sqrt{14}}{3}$ B、直线 $A_{1} P$ 与 $B D$ 所成的角不可能是 $\frac{π}{6}$ C、若 $\vec{B_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{B_{1} C}$ ，则二面角 $B - A_{1} P - B_{1}$ 平面角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、当 $B_{1} P = 2 P C$ 时，点 $D_{1}$ 到平面 $A_{1} B P$ 的距离为 $\frac{2}{3}$

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10、在空间直角坐标系Oxyz中， $A (1, 1, 1)$ ， $B (0, 1, 0)$ ， $C (0, 0, 1)$ ，点H在平面ABC内，则当点O与H间的距离取最小值时，点H的坐标是（）

A、 $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ C、 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$

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11、设 $A (- 2, 3), B (1, 2)$ ，若点 $P (x, y)$ 在线段 $A B$ 上，则 $\frac{y + 1}{x}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2, 3]$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(- \infty, - 2]\cup[3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$

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12、已知向量 $\vec{a} = (x, y)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ，从6张大小相同分别标有号码 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 的卡片中，有放回地抽取两张， $x$ 、 $y$ 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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13、给定数组 $5, 4, 3, 5, 3, 2, 2, 3, 1, 2$ ，则错误的是（）

A、中位数为3 B、标准差为 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、众数为2和3 D、第85百分位数为4

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14、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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15、若直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $α$ ，在 $y$ 轴上的截距为 $b$ ，则（）

A、 $α = \frac{5 π}{6}$ ， $b = 1$ B、 $α = \frac{2 π}{3}$ ， $b = - 1$ C、 $α = \frac{2 π}{3}$ ， $b = 1$ D、 $α = \frac{5 π}{6}$ ， $b = - 1$

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16、某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中合格产品约有（）

A、1万件 B、18万件 C、19万件 D、20万件

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17、在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（）

A、与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些 B、与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 C、与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些 D、与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定

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18、数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为 $n (n \in N)$ ， n次扩充后的新数列记为 $\{a_{n}\}$ ，项数记为 $P_{n}$ ，所有项的和记为 $S_{n}$ ．扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列 $\{a_{0}\} = \{a, b, c\}$ 经过一次扩充后得到数列 $\{a_{1}\} = \{a, a + b, b, b + c, c\}$ ， $P_{1} = 5$ ， $S_{1} = 2 a + 3 b + 2 c$ ．已知数列 $\{a_{0}\} = \{- 2, 1, 2\}$ ．

(1)、求 $\{a_{3}\}$ ， $P_{3}$ ， $S_{3}$ ；

(2)、求 $P_{n}$ ， $S_{n}$ ；

(3)、求数列 $\{P_{n} \log_{3} S_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $P (\sqrt{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ 到两焦点的距离之和为 $4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程．

(2)、不经过点 $Q (2, 0)$ 的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

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20、图1是直角梯形ABCD， $A B / / C D$ ， $∠ D = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $D C = 3$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $D E = 1$ ，以 $B E$ 为折痕将 $△ B C E$ 折起，使点 $C$ 到达点 $C_{1}$ 的位置，且二面角 $A - E B - C_{1}$ 的平面角为 $120^{°}$ ，如图2．

(1)、证明： $A C_{1} ⊥ B E$ ．

(2)、求平面 $C_{1} A D$ 与平面 $C_{1} B E$ 夹角的余弦值．

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