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相关试卷

1、函数的不动点在数学领域有着重要的地位．对于函数 $f (x)$ ，若存在 $x_{0} \in R$ ，使 $f (x_{0}) = x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的不动点．已知函数 $f (x) = m x^{2} + (n - 1) x + n - 8 (m \neq 0)$ ．

(1)、当 $m = 1, n = 0$ 时，
①求函数 $f (x)$ 的不动点；
②记 $h (a)$ 为函数 $f (x)$ 在 $[a, a + 2]$ 上的最大值与最小值之差，求 $h (a)$ ；

(2)、若 $f (x)$ 的两个不动点为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = - \frac{m}{m + 2}$ ，当 $1 < m < 6$ 时，求实数 $n$ 的取值范围．

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2、已知非常数函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{9}} \frac{a - x}{2 + b x}$ 是定义域为 $(- 2, 2)$ 的奇函数．

(1)、求实数 $a, b$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、已知 $g (x) = m \cdot 4^{x} - 2^{x + 2} + 3$ ，且 $\forall x_{1} \in (1, 2), \exists x_{2} \in [- 1, 1], f (x_{1}) - g (x_{2}) > - \frac{1}{2}$ ，求 $m$ 的取值范围．

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3、求下列各式的值：

(1)、 $\sqrt[3]{{(- 16)}^{3}} + \log_{7} 8 \cdot \log_{4} \sqrt[3]{7} - {(0.2)}^{1 - \log_{5} 3} + 2 π^{0} \cdot {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{- 6}$ ；

(2)、已知 $x^{- 1} + x = 7 (x > 0)$ ，求 $x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{3}{2}}$ ．

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4、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = 4^{- x} + 1$ ，则函数 $f (x)$ 的解析式为．

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5、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m^{2} + m - 3}$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数，则 $m$ 的值为．

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6、定义在 $(- 1, 1)$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (y) = f (\frac{x - y}{1 - x y})$ ，且当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) < 0$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (\frac{1}{5}) + f (\frac{1}{19}) = f (\frac{1}{4})$ C、 $f (\frac{1}{3}) + f (\frac{1}{4}) < f (\frac{1}{2})$ D、 $f (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上单调递增

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7、下列说法不正确的是（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $(- 1, 2)$ ，则 $f (2 x - 1)$ 的定义域为 $(- 3, 3)$ B、不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立的充分不必要条件是 $- 3 < k < 0$ C、一元二次不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $(- 1, 3)$ ，则 $\frac{3 b^{2} - c^{2} + 1}{a}$ 有最小值 $2 \sqrt{3}$ D、若 $a > 0, b > 0, \frac{1}{a + 3 b} + \frac{1}{3 a + b} = 1$ ，则 $a + b$ 的最小值为1

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8、下列函数既是偶函数，又在 $(- \infty, 0)$ 上是减函数的是（）

A、 $y = x^{\frac{5}{4}}$ B、 $y = 3^{| x |}$ C、 $y = \lg (x^{2} + 1)$ D、 $y = - \frac{1}{4 x} + x$

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9、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} {(a - 1)}^{x}, x \leq \frac{1}{2}, \\ x + \frac{a}{x} - 2, x > \frac{1}{2} \end{matrix} (a > 1)$ 的值域为 $D, D \subseteq [\frac{2}{5}, + \infty)$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $[\frac{19}{10}, 2]$ C、 $(2, 5)$ D、 $[\frac{36}{25}, 2]$

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10、已知 $f (x) = m (x - 2 m) (x + m + 3), g (x) = 3^{x} - 3$ ，若命题“ $\forall x \in R, f (x) < 0$ 或 $g (x) < 0$ ”为真命题，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4, \frac{1}{2})$ B、 $(- 4, 0)$ C、 $(0, \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2}, 0)$

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11、若函数 $f (x) = \frac{4 x^{2} + x + 2}{2 x^{2} + 1}$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，则 $M + N =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、现使用一架两臂不等长的天平称20g药品，操作方法如下：先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（）

A、等于20g B、大于20g C、小于20g D、以上都有可能

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13、若集合 $A = \{x ||x + \frac{1}{2}| < \frac{5}{2}\}$ ， $B = \{x |\frac{5}{x - 3} \leq - 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 3, 3)$ B、 $(- 3, 3]$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $[- 2, 2)$

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14、已知命题 $p : \forall x > 0, \sqrt{3 - x} > 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\forall x > 0, \sqrt{3 - x} \leq 0$ B、 $\exists x_{0} \leq 0, \sqrt{3 - x_{0}} \leq 0$ C、 $\exists x_{0} > 0, \sqrt{3 - x_{0}} \leq 0$ D、 $\forall x \leq 0, \sqrt{3 - x} \leq 0$

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} + | x - a |$ .
（1）若 $a = 0$ ，求证：函数 $f (x)$ 是偶函数；
（2）若 $a > 0$ ，用定义证明函数 $f (x)$ 在 $(a, + \infty)$ 上单调递增；
（3）是否存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上的最小值为 $1$ ？若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，说明理由.

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16、若二次函数满足 $f (x + 1) - f (x) = 2 x$ ，且 $f (0) = 1$

(1)、确定函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若在区间 $[- 1, 1]$ 上不等式 $f (x) > 2 x + m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、（1）计算： ${(2 \frac{1}{4})}^{0.5} - {0.75}^{2} + 6^{- 2} \times {(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}}$ ；
（2）已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}} = 3 (a > 0)$ ，求值： $\frac{a^{2} + a^{- 2} + 1}{a + a^{- 1} + 1}$ .

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18、已知全集 $U =R$ ，集合 $A = {x | - 5 \leq x \leq - 1}$ ，集合 $B = {x | x + 4 \geq 0}$ .求：

(1)、 $A ∪ B$ ；

(2)、 $∁_{U} (A ∩ B)$ .

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19、已知 $α \in \{- 2, - 1, \frac{1}{2}, 1, 2\}$ ，若函数 $y = x^{α}$ 在 $(0, + \infty)$ 上 $y$ 随 $x$ 增大而减小，且图像关于 $y$ 轴对称，则 $α =$ .

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20、函数 $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x - 1}$ 的定义域为．

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