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相关试卷

1、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ， $Q$ 为 $C$ 上一点且纵坐标为4， $Q P ⊥ y$ 轴于点 $P$ ，且 $|Q P| = \frac{1}{2} |Q F|$ .

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、已知点 $M (\frac{1}{2}, - 2)$ ， $A, B$ 是抛物线 $C$ 上不同的两点，且满足 $k_{A M} + k_{B M} = - \frac{8}{5}$ .证明：直线 $A B$ 恒过定点 $(- 2, - 3)$ .

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2、如图，在三棱锥 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ BAC = 90^{\circ} ， AB = AC = 2, A A_{1} = 4, A_{1}$ 在底面ABC的射影为BC的中点，D为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.
（1）证明： $A_{1} D ⊥ 平面 A_{1} BC$ ；
（2）求直线 $A_{1} B$ 和平面 $B B_{1} C C_{1}$ 所成的角的正弦值.

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3、已知圆 $C$ 过点 $A (4, 2)$ 和点 $B (1, 3)$ ，圆心在直线 $y = x - 1$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程，并写出圆心坐标和半径的值；

(2)、若直线 $l$ 经过点 $P (1, - 1)$ ，且 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为4，求直线 $l$ 的方程.

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} + b_{2} = 2$ .

(1)、若 $a_{3} + b_{3} = 3$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $T_{3} = 21$ ，求 $S_{3}$ .

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5、正三棱锥 $S - A B C$ ， $S A = 2 A B = 4$ ，点 $P$ 为侧棱 $S A$ 的中点， $M, N$ 分别是线段 $S B, A B$ 上的动点，则 $2 P M + M N$ 的最小值为.

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6、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 x$ 和圆 $M : {(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若抛物线与圆在交点处的切线互相垂直，则实数 $a =$ .

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7、设两个等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{7 n}{9 n + 4}$ ，则 $\frac{a_{3}}{b_{3}} =$ .

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8、如图，直平面六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长都为2， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $Q$ 是四边形 $C C_{1} D_{1} D$ （包括边界）内，则下列结论正确的是（）

A、过点 $A_{1}, B, P$ 的截面是直角梯形 B、若直线 $A Q //$ 面 $A_{1} B P$ ，则直线 $A Q$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ C、存在点 $Q$ 使得直线 $B_{1} Q ⊥$ 面 $A_{1} B P$ D、点 $Q$ 到面 $A_{1} B P$ 的距离的最大值为 $\frac{3 \sqrt{30}}{10}$

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9、两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）．已知圆锥轴截面的顶角为2θ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α．当 $θ < α < \frac{π}{2}$ 时，截口曲线为椭圆；当 $α = θ$ 时，截口曲线为抛物线；当 $0 < α < θ$ 时，截口曲线为双曲线．在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ，点P在平面ABCD内，下列说法正确的是（）

A、若点P到直线 $C C_{1}$ 的距离与点P到平面 $B B_{1} C_{1} C$ 的距离相等，则点P的轨迹为抛物线 B、若点P到直线 $C C_{1}$ 的距离与点P到 $A A_{1}$ 的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆 C、若 $∠ B D_{1} P = 45 °$ ，则点P的轨迹为抛物线 D、若 $∠ B D_{1} P = 60 °$ ，则点P的轨迹为双曲线

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10、对于两条不同直线 $m, n$ 和两个不同平面 $α, β$ ，下列选项正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $m // α, n // β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ 或 $m // n$ C、若 $m // α, α ⊥ β$ ，则 $m / / β$ 或 $m \subset β$ D、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n // α$ 或 $n \subset α$

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11、设椭圆 $C$ 的两个焦点是 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线与 $C$ 交于点 $P, Q$ ，若 $|P F_{2}| = |F_{1} F_{2}|$ ，且 $3 |P F_{1}| = 4 |Q F_{1}|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{5}{7}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{2}{7}$

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12、已知等腰直角 $△ A B C$ 的斜边 $A B = \sqrt{2}, M, N$ 分别为 $A C, A B$ 上的动点，将 $△ A M N$ 沿 $M N$ 折起，使点 $A$ 到达点 $A^{'}$ 的位置，且平面 $A^{'} M N ⊥$ 平面 $B C M N$ .若点 $A^{'}, B, C, M, N$ 均在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 表面积的最小值为（）

A、 $\frac{8 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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13、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过 $A B$ 作一垂直于 $B_{1} C$ 的平面交平面 $A D D_{1} A_{1}$ 于直线 $l$ ，动点 $M$ 在直线 $l$ 上，则直线 $B M$ 与 $C D_{1}$ 所成角余弦值的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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14、若方程 $x^{2} + y^{2} + 2 k x - 4 y + k^{2} + k - 2 = 0$ 表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是（）

A、 $(- 6, + \infty)$ B、 $[- 6, + \infty)$ C、 $(- \infty, 6]$ D、 $(- \infty, 6)$

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15、已知 $E, F$ 分别是空间四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 的中点，点 $G$ 是线段 $E F$ 的中点， $P$ 为空间中任意一点，则 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} =$ （）

A、 $\vec{P G}$ B、 $2 \vec{P G}$ C、 $3 \vec{P G}$ D、 $4 \vec{P G}$

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16、抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(0, - \frac{1}{16})$ D、 $(0, \frac{1}{16})$

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17、直线 $l$ 经过 $A (4, 2 \sqrt{3}), B (3, \sqrt{3})$ 两点，则 $l$ 的倾斜角是（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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18、函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 具有如下性质：①定义域均为R；② $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数；③ $f (x) + g (x) = e^{x}$ （常数 $e$ 是自然对数的底数）.

(1)、求函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、对任意实数 $x$ ， ${[g (x)]}^{2} - {[f (x)]}^{2}$ 是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由；

(3)、若不等式 $2 f (x) - m \cdot g (2 x) \geq 0$ 对 $\forall x \in [\ln 2, \ln 3]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：
年份
2008
2009
2010
2011
…
2020
数据量（ZB）
0.49
0.8
1.2
1.82
…
80

(1)、设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第 $x$ 年全球生产的数据量 $y$ （单位：ZB）与 $x$ 的关系，根据上述信息，试从 $y = a \cdot b^{x}$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $b \neq 1$ ）， $y = a x + b (a > 0)$ ， $y = a \cdot \log_{b} x$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $b \neq 1$ ）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适?（不用说明理由）；

(2)、根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍?

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20、已知函数 $f (x) = \log_{a} (a^{x} - 1)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），且 $f (2) = \log_{a} 3$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断并用定义法证明函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x - 2) < f (4)$ 的解集.

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年份	2008	2009	2010	2011	…	2020
数据量（ZB）	0.49	0.8	1.2	1.82	…	80