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相关试卷

1、如图，在多面体 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = 4, C C_{1} = 2, A B = 3$ ．侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 为矩形， $C A ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}, C C_{1} ⊥$ 平面ABC.

(1)、求直线 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A B C_{1}$ 所成角的正弦值；

(2)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离．

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2、已知 $△ A B C$ 顶点 $A (1, 2)$ 、 $B (- 3, - 1)$ 、 $C (3, - 3)$ ．

(1)、求边 $B C$ 的垂直平分线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ 过点 $A$ ，且 $l_{2}$ 的纵截距是横截距的 $2$ 倍，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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3、在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别为棱 $D A$ ， $B B_{1}$ 的中点， $M$ ， $N$ 分别为线段 $D_{1} A_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ 上的动点（不包括端点），且 $E N ⊥ F M$ ，则线段 $M N$ 的长度的最小值为.

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4、事件 $A$ 、 $B$ 是相互独立事件，若 $P (A) = m, P (B) = 0.3$ ， $P (\bar{A} + B) = 0.7$ ，则实数 $m$ 的值等于.

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5、已知直线 $l : y = k x + 2$ 在 $x$ 轴上的截距为1，则 $k =$ .

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6、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所在棱长均为2，P为棱 $C C_{1}$ 上的动点，则下列结论中正确的是（）

A、该正三棱柱内可放入的最大球的体积为 $\frac{4 π}{3}$ B、该正三棱柱外接球的表面积为 $\frac{28 π}{3}$ C、存在点P，使得 $B P ⊥ A B_{1}$ D、点P到直线 $A_{1} B$ 的距离的最小值为 $\sqrt{3}$

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7、已知空间中三个向量 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (- 1, - 2, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 是共线向量 B、与 $\vec{a}$ 同向的单位向量是 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量是 $(- 1, - 2, 0)$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $90^{\circ}$

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8、过点 $P (0, - 1)$ 作直线 $l$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (- 2, 1)$ ， $B (2 \sqrt{3}, 1)$ 两点的线段总有公共点，则直线 $l$ 的倾斜角范围为（）

A、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{6}, \frac{3 π}{4}]$ C、 $[0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ D、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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9、如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，若 $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，点 $M$ 在 $B D_{1}$ 上，且 $B M = 3 D_{1} M$ ，则 $\vec{C M} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A A_{1}} + \frac{3}{8} \vec{A B} - \frac{5}{8} \vec{A D}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{A A_{1}} + \frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{5}{8} \vec{A D}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{A A_{1}} - \frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{5}{8} \vec{A D}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A A_{1}} - \frac{3}{8} \vec{A B} + \frac{5}{8} \vec{A D}$

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10、某同学在一次数学测试中的成绩是班级第十名（假设测试的成绩两两不同），且该同学的成绩恰好是该班级成绩的第80百分位数，则该班级的人数可能为（）

A、36 B、41 C、46 D、51

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11、已知事件A，B互斥， $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ ，且 $P (A) = 2 P (B)$ ，则 $P (\bar{B}) =$ （）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{18}$ D、 $\frac{13}{18}$

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12、《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是（）

A、在睡眠指数 $[60, 80)$ 的人群中，早睡人数多于晚睡人数 B、早睡人群睡眠指数主要集中在 $[80, 90)$ C、早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小 D、晚睡人群睡眠指数主要集中在 $[60, 80)$

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13、若直线 $a x + y = 0$ 与直线 $4 x + a y + a - 2 = 0$ 平行，则 $a =$ （）

A、0 B、 $- 2$ C、2 D、 $- 2$ 或2

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14、已知 $z = \frac{5 i}{2 + i}$ ，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、2i B、4i C、1 D、2

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15、直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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16、已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = x^{2} + 3 |x - a|$ ．

(1)、当 $a = 1$ ，判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性并求其最小值；

(2)、记 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最小值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的表达式；

(3)、对（2）中的 $g (a)$ ，当 $x \in [- 1, 1]$ ，恒有 $f (x) \leq g (a) + m$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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17、2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产 $x (x \in N^{*})$ 百件，需另投入成本 $W (x)$ 万元，且 $0 < x < 45$ 时， $W (x) = 3 x^{2} + 260 x$ ；当 $x \geq 45$ 时， $W (x) = 501 x + \frac{4900}{x + 20} - 4950$ ，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

(1)、分别写出 $0 \leq x < 45$ 与 $x \geq 45$ 时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）；

(2)、当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？

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18、已知函数 $f (x) = \frac{a x - b}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (2 t) + f (t - 1) > 0$ .

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19、已知不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | x < 1$ 或 $x > b}$

(1)、求 $a, b$ 的值

(2)、解不等式 $a x^{2} - (a m + b) x + b m < 0$ ．

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20、设全集为 $R$ ，集合 $A = {x | 3 \leq x < 6}, B = {x ∣ 2 < x < 9}$ ．

(1)、分别求 $A \cap B, (∁_{R} A) \cup B$

(2)、已知 $C = {x ∣ a < x < a + 1}$ ，若 $C \cup B = B$ ，求实数a的取值范围．

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