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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |- 1 < x \leq 2\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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2、对于正整数集合 $A$ ，记 $A - \{a\} = \{x |x \in A, x \neq a\}$ ，记集合 $T$ 所有元素之和为 $S (T)$ ， $S (\emptyset) = 0$ ．若 $\exists x \in A$ ，存在非空集合 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，满足：① $A_{1} \cap A_{2} = \emptyset$ ；② $A_{1} \cup A_{2} = A - \{x\}$ ；③ $S (A_{1}) = S (A_{2})$ ，则称 $A$ 存在“双拆”．若 $\forall x \in A$ ， $A$ 均存在“双拆”，称 $A$ 可以“任意双拆”．

(1)、判断集合 $\{1, 2, 3, 4\}$ 和 $\{2, 4, 6, 8, 10\}$ 是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”（不必写过程，直接写出判断结果）；

(2)、 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}\}$ ，判断 $A$ 是否能“任意双拆”，并证明；

(3)、若 $A$ 可以“任意双拆”，求 $A$ 中元素个数的最小值.

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3、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 是 $R$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{2}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上的最大值；

(3)、若 $f (x) < m^{2} - 2 a m + \frac{1}{2}$ 对所有的 $x \in [- 1, 1]$ ， $a \in [- 1, 1]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a + 1) x + 1$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 的单调减区间为 $(- \infty, 1]$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a \leq 1$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - (a + 1) x + 1 > 0$ ；

(3)、关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - (a + 1) x + 1 > 0$ 仅包含一个整数解，写出一个 $a$ 的值（结论不要求证明）.

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5、如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为 $50 m^{3}$ ，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为 $5 m$ ，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为 $x (m)$ ，墙高 $5 m$ .

(1)、试将垃圾池的总造价 $y$ （元）表示为 $x (m)$ 的函数，并指出 $x$ 的取值范围；

(2)、垃圾池的高为何值时，能使总造价最低？最低总造价是多少？

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6、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x| x^{2} - 2 x < 0\}$ ， $B = {x \in R ∣ x - a > 0}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $A \cup B$ ， $∁_{U} A$ ；

(2)、若 $B \subseteq ∁_{U} A$ ，求 $a$ 的取值范围.

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7、几位同学在研究函数 $f (x) = \frac{x}{1 + | x |} (x \in R)$ 时给出了下面几个结论：
①函数 $f (x)$ 的值域为 $(- 1, 1)$ ；
②存在 $x_{1} \neq x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ；
③ $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 是增函数；
④若规定 $f_{1} (x) = f (x)$ ，且对任意正整数 $n$ 都有： $f_{n + 1} (x) = f (f_{n} (x))$ ，则 $f_{n} (x) = \frac{x}{1 + n | x |}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立.
上述结论中正确结论的序号为.

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8、已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + x, - 2 \leq x \leq c, \\ \frac{1}{x}, c < x \leq 3. \end{matrix}$ 若 $c = 0$ ，则 $f (x)$ 的值域是；若 $f (x)$ 的值域是 $[- \frac{1}{4}, 2]$ ，则实数 $c$ 的取值范围是．

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9、写出同时满足以下两个条件的一个函数 $f (x) =$ .
① $\forall x$ ， $y \in R$ ， $f (x y) = f (x) f (y)$ ；
② $\forall x$ ， $y \in [0, + \infty)$ 且 $x \neq y$ ， $f (\frac{x + y}{2}) < \frac{f (x) + f (y)}{2}$ .

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10、若集合 $A = \{x| a x^{2} - a x + 2 = 0\} = \emptyset$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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11、已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(4,2)$ ，则 $f (\frac{1}{16}) =$ .

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12、函数 $f (x) = \frac{4 x}{\sqrt{x - 3}}$ 的定义域是.

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13、设集合 $S = \{A_{0}, A_{1}, A_{2}\}$ ，在 $S$ 上定义运算 $\oplus : A_{i} \oplus A_{j} = A_{k}$ ，其中 $k$ 为 $i + j$ 被3除的余数， $i$ ， $j \in \{0, 1, 2\}$ ，则使关系式 $(A_{i} \oplus A_{j}) \oplus A_{i} = A_{0}$ 成立的有序数对 $(i, j)$ 共有（）

A、0对 B、2对 C、3对 D、4对

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14、已知 $f (x) = m (x - 2 m) (x + m + 3)$ ， $g (x) = x - 1$ ，若 $\forall x \in R$ ， $f (x) < 0$ 或 $g (x) < 0$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\begin{matrix} - 4, 0 \end{matrix})$ B、 $(- 4, - 2)$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(- 3, - 2)$

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15、已知定义在R上的函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2024, x \in Z \\ - 2024, x \notin Z \end{cases}$ 则“ $f (f (x)) = 2024$ ”是“ $x \notin Z$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（ $1 \leq x \leq 20$ ， $x \in Z$ ），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）

A、220元 B、240元 C、250元 D、280元

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17、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (5) = 4$ ， $f (x + 3)$ 是偶函数，且 $f (x)$ 在 $[3, + \infty)$ 单调递增，则（）

A、 $f (0) < 4$ B、 $f (1) = 4$ C、 $f (2) > 4$ D、 $f (3) < 0$

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18、关于x的方程 $x^{2} + 2 (m - 1) x + m^{2} - m = 0$ 有两个实数根 $α$ ， $β$ ，且 $α^{2} + β^{2} = 12$ ，那么m的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 4$ C、 $- 4$ 或1 D、 $- 1$ 或4

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19、已知边长为1的正方形ABCD中，E为CD的中点，动点P在正方形ABCD边上沿 $A \to B \to C \to E$ 运动．设点 $P$ 经过的路程为 $x$ ． $△ A P E$ 的面积为 $y$ ．则 $y$ 与 $x$ 的函数图象大致为图中的（　　）

A、 B、 C、 D、

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20、使“函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + a + 1} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a + 1}}$ 的最小值为2”为假命题的 $a$ 的一个值可以是（）

A、-2 B、-1 C、0 D、1

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