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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A P ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A D = 2 B C = 2 C D = 2$ ， $A D / / B C$ ， $A P = 1.$ 点 $E$ 为线段 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $F$ 为线段 $P B$ 上一点，且 $\vec{P F} = λ \vec{P B}$ ， $λ$ 为何值时，直线 $D F$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{30}$ ?

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2、已知圆心在直线 $x - y + 3 = 0$ 上的圆C经过两点 $M (0, 2)$ 和 $N (1, 3) .$

(1)、求圆C的方程；

(2)、设点 $Q (a, 0) (a > 0)$ ，若圆C上存在点P满足 $|P Q| = \sqrt{2} |P O|$ ，求实数a的取值范围.

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3、一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的5个小球，其中有3个黑球 $($ 标号为1、2和 $3)$ ， 2个白色球 $($ 标号为4和 $5) .$ 若一次性从盒子中取出2个小球.

(1)、写出试验的样本空间；

(2)、求取出的小球恰好是1个黑球和1个白球的概率.

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4、已知正四面体 $A - B C D$ 的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足 $A E = C F$ ，则线段EF长度的最小值为.

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5、若函数 $f (x) = cos (2 x + φ) (0 < φ < 2 π)$ 的图象向右平移 $φ$ 个单位后在区间 $[\frac{π}{2}, π]$ 上单调递减，则 $φ =$ .

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6、若A，B为两个相互独立的事件， $P (A) = 0.3$ ， $P (B) = 0.6$ ，则 $P (\bar{A} B) =$ .

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其一条渐近线为 $y = x$ ，直线l过点 $F_{2}$ 且与双曲线C的右支交于A，B两点，M，N分别为 $△ A F_{1} F_{2}$ 和 $△ B F_{1} F_{2}$ 的内心，则下列选项正确的是（）

A、直线l斜率的取值范围为 $[- 1, 1]$ B、点M与点N的横坐标都为a C、 $△ M N F_{2}$ 为直角三角形 D、 $△ M N F_{2}$ 面积的最小值为 $(3 - 2 \sqrt{2}) a^{2}$

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8、已知直线 $l : k x + y + 2 k - 1 = 0$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则下列选项正确的是（）

A、直线l恒过定点 $(- 2, 1)$ B、若圆C关于直线l对称，则 $k = 1$ C、若直线l与圆C相切，则 $k = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、当 $k = 1$ 时，取y轴上一点 $E (0, 3)$ ，则 $|E P| + |P Q|$ 的最小值为 $\sqrt{29} - 1$

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9、从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在 $50 ~ 650 k W \cdot h$ 之间，进行适当分组后 $($ 每组为左闭右开的区间 $)$ ，画出频率分布直方图如图所示，以下选项正确的有（）

A、 $a = 0.0022$ B、本组样本的众数为250 C、本组样本的第45百分位数是300 D、用电量落在区间 $[150, 550)$ 内的户数为82

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10、已知棱长为1的正方体内接于球O，在球O与正方体之间放入一个小正方体，则小正方体的棱长的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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11、已知抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x$ 过点 $(1, 2)$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0.$ 如图，过圆心 $C_{2}$ 的直线l与抛物线 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 分别交于P，Q，M，N，则 $|P M| + 4 |Q N|$ 的最小值为（）

A、4 B、5 C、6 D、9

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12、已知三条直线 $l_{1} : x - 2 y + 2 = 0$ ， $l_{2} : y - 2 = 0$ ， $l_{3} : m x + y = 0$ 将平面分为六个部分，则满足条件的m的值共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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13、已知函数 $f (x) = 2 - \frac{2}{2^{x} + 1}$ ，则函数 $f (x)$ 的图象的对称中心的坐标为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 0)$ C、 $(1, 0)$ D、 $(- 1, 0)$

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14、若α，β为两个不同的平面，m为一条直线，则下列结论正确的是（）

A、若 $m // α, m // β$ ，则 $α // β$ B、若 $m ⊥ α, α ⊥ β$ ，则 $m // β$ C、若 $m // α, m // β$ ，则α与β相交 D、若m⊥α， $m // β$ ，则α⊥β

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15、在空间直角坐标系中，向量 $\vec{m} = (1, - 2, 3)$ ， $\vec{n} = (1, 3, 4)$ ，则 $\vec{n}$ 在 $\vec{m}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{14}}{2} \vec{m}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{m}$ C、 $- \frac{\sqrt{14}}{2} \vec{m}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{m}$

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16、直线 $x - y + 1 = 0$ 关于y轴对称的直线的方程为（）

A、 $x + y - 1 = 0$ B、 $x + y + 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x - y + 1 = 0$

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17、已知集合 $A = {x | 3 \leq x < 10}$ ， $B = {x | 2 < x < 7}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 2 < x < 3}$ B、 ${x | 7 \leq x < 10}$ C、 ${x | 3 \leq x < 7}$ D、 ${x | 2 < x < 10}$

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18、如果函数 $f (x) = x^{2} + b x + c$ 对于任意实数t都有 $f (2 + t) = f (2 - t)$ ，那么（）

A、f(2)<f(1)<f(4) B、f(1)<f(2)<f(4) C、f(4)<f(2)<f(1) D、f(2)<f(4)<f(1)

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19、常用测量距离的方式有3种．设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，定义欧几里得距离 $d (A, B) = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ，定义曼哈顿距离 $m (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ，定义余弦距离 $e (A, B) = 1 - cos (A, B)$ ，其中 $cos (A, B) = cos ⟨\vec{O A}, \vec{O B}⟩$ （ $O$ 为坐标原点）．

(1)、若 $A (1, 2), B (2, 1)$ ，求 $A, B$ 之间的欧几里得距离 $d (A, B)$ 和余弦距离 $e (A, B)$ ；

(2)、若点 $P (x, y)$ 在函数 $y = 3^{x}$ 的图象上且 $x \in Z$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(1, 27)$ ，求 $m (P, Q)$ 的最小值；

(3)、若 $C (\sqrt{4 x - x^{2}}, x - 2), D (- 1, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，求 $e (C, D)$ 的取值范围.

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20、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (2, 0)$ ， $B (2, 4)$ ， $C (4, 2)$ ，直线 $l$ 经过点 $D (1, 4)$ .

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆 $M$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $P Q = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程；

(3)、若 $E, F$ 是圆 $M$ 上的两个动点，当 $∠ E D F$ 最大时，求直线 $E F$ 的方程.

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