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1、在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，定义这两个向量的“相离度”为 $d (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{|x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ ，容易知道 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 平行的充要条件为 $d (\vec{a}, \vec{b}) = 0$ .

(1)、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (4, - 2)$ ，求 $d (\vec{a}, \vec{b})$ ；

(2)、①已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ_{1}$ ，且 $\vec{c}$ ， $\vec{d}$ 的夹角为 $θ_{2}$ ，证明： $d (\vec{a}, \vec{b}) = d (\vec{c}, \vec{d})$ 的充分必要条件是 $\sin θ_{1} = \sin θ_{2}$ ；
②在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 4$ ，角A的平分线AD与BC交于点D，且 $A D = \frac{4}{3}$ ，若 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，求 $d (\vec{P A}, \vec{P B})$ .

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2、在斜 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a \sin 2 C + c \cos A = b$ ，且 $\cos B = \frac{1}{7}$ ．

(1)、求 $\sin A$ ；

(2)、若点M为AC中点，且 $B M = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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3、在梯形ABCD中， $\vec{A B} = 2 \vec{D C}, \vec{A E} = \vec{E B}, | \vec{B C} | = 3$ ， P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足 $4 \vec{D P} = \vec{P A} + \vec{P B}$ ， $\vec{D A} \cdot \vec{C B} = | \vec{D A} | \cdot | \vec{D P} |$ ， Q为边AD上的一个动点．

(1)、求证： $2 \vec{D P} = \vec{P E}$ ；

(2)、 $| \vec{P Q} |$ 的最小值．

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4、已知向量 $\vec{a} = (3, 2), \vec{b} = (x, - 1)$ ．

(1)、当 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ 且 $x > 0$ 时，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、当 $\vec{c} = (- 8, - 1), \vec{a} ∥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $α$ ．

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5、已知点P为 $△ A B C$ 内一点， $P C = 2, P B = 3, A C = 4, A B = 5$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{P A} =$ ．

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6、已知是O坐标原点， $A (1, - 3), B (4, - \frac{1}{2}), C (2 a - 1, a + 2)$ ，若点C满足 $\vec{O C} = \cos^{2} θ \cdot \vec{O A} + 2 \sin^{2} θ \cdot \vec{O B}$ ，则a的值为．

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7、已知 $A (3, 2)$ ， $B (- 1, - 1)$ ，若点 $P (x, - \frac{1}{2})$ 在线段AB的中垂线上，则 $x =$ .

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8、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $(\sqrt{3} c - 2 a \sin B) \sin C = \sqrt{3} (b \sin B - a \sin A)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\cos A \cos C$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ B、若D是AC边上的一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D A}, B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、若三角形 $A B C$ 是锐角三角形，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$ D、若O是 $△ A B C$ 的外心， $\vec{O B} = m \vec{O A} + n \vec{O C}$ ，则 $m + n \in [- 2, 1)$

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9、正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点， $\overset{⃑}{A P} = λ$ $\overset{⃑}{A D} + μ \overset{⃑}{A E}$ ，则（）

A、 $λ$ 最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $μ$ 最大值为1 C、 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A D}$ 最大值是2 D、 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A E}$ 最大值是 $\sqrt{5} + 2$

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10、已知凸四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ， $∠ A B D = 2 ∠ C B D$ ， $\frac{A D}{C D} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，则 $\frac{B D}{A C}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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11、我们定义：“ $\vec{a} \times \vec{b}$ ”为向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的“外积”，若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，它的长度规定 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin θ$ ，现已知：在 $△ A B C$ 中，若 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 1, |\vec{C A} + \vec{C B}| = 2$ ，则 $|\vec{A B} \times \vec{A C}|$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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12、冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{14}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{22}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{6}$

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13、已知 $A D, B E$ 分别为 $△ A B C$ 的边 $B C, A C$ 上的中线，设 $\vec{A D} = \vec{a}$ ， $\vec{B E} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B C}$ ＝（）

A、 $\frac{4}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{2}{3}$ $\vec{b}$ B、 $\frac{2}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{4}{3}$ $\vec{b}$ C、 $\frac{2}{3}$ $\vec{a}$ $- \frac{4}{3}$ $\vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{4}{3}$ $\vec{b}$

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14、下列说法中正确的是（）

A、若 $\vec{A B} = \vec{C D}$ ，则 $|\vec{A B}| = |\vec{C D}|$ ，且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点一定构成平行四边形 B、若单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ C、对任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，都有 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、 $Q$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，若 $\vec{A Q} = \frac{1}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$ ，则 $△ A B Q$ 的面积是 $△ A C Q$ 的面积的2倍

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15、已知点 $P (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ 在角 $θ$ 的终边上，且 $θ \in [0, \frac{π}{2})$ ，则 $θ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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16、已知函数 $f (x) = - x^{3} + b x^{2} + c x$ 在 $x = - 2$ 处取得极值 $- 8$ .

(1)、求实数 $b$ ， $c$ 的值

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的最大值和最小值

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $\cos C = \frac{7}{8}$ ， $3 b = 4 a$ .

(1)、求 $c o s B$ 的值；

(2)、求 $\sin (2 B + \frac{π}{6})$ 的值.

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18、如图所示，由椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）和抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）组合成曲线 $Γ$ ，若 $C_{1}$ 与 $C 2$ 存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线 $Γ$ 为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”.

(1)、求“等差椭圆”的离心率；

(2)、在“七星瓢虫曲线” $Γ$ 中，若 $C_{1}$ 是“等差椭圆”，且 $a = 5$ .
（ⅰ）求与 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 都相切的直线的方程；
（ⅱ）直线 $l : y = k x + m$ （ $k m = 2$ ），且l与 $C_{1}$ 相交所得弦的中点为M，与 $C_{2}$ 相交所得弦的中点为N，证明：直线OM，ON（O为原点）的斜率之积 $k_{O M} k_{O N}$ 为定值.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{n}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，若不等式 $T_{n} \leq λ (n \in N^{*})$ 恒成立，则实数 $λ$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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20、已知函数 $f (x) = \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x + m (m \in R)$ 的图象过原点.

(1)、求 $m$ 的值及 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, t]$ 上单调递增，求正数 $t$ 的最大值.

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