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相关试卷

1、若 $l$ 是平面 $α$ 的一条斜线， $l \cap α = O$ ，直线 $a \subset$ 平面 $α$ 且 $O \notin$ 直线 $a$ ，记直线 $l$ 与平面 $α$ 所成的角为 $θ$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $l$ 与 $a$ 是一对异面直线 B、若点 $A$ 和 $B$ 分别为直线 $l$ 上和平面 $α$ 内异于点 $O$ 的点，则 $∠ A O B \geq θ$ C、若 $M$ 和 $N$ 分别是直线 $l$ 与 $a$ 上的动点，则满足 $M N ⊥ l$ 且 $M N ⊥ a$ 的直线不唯一 D、过直线 $a$ 有且只有唯一平面与直线 $l$ 平行

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2、函数 $y = a^{x} - \frac{1}{a} (a > 1)$ 的图象经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x| - 1, & - 1 \leq x < 1, \\ 2 f (x - 2), & 1 \leq x \leq 7, \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 至少有5个不等的实数解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $[- 2, 0]$ C、 $[- 4, 0]$ D、 $[- 8, 0]$

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4、已知 $a b > 0$ 且 $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{a^{2} + 2 b + 1}{a b}$ 的最小值是（）

A、12 B、16 C、15 D、14

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5、若 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, a = 4, b = 16, C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于 $D$ ，且 $C D = 4$ ，则 $B D =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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6、设函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 为偶函数.当 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$ 时， $|x_{1} - x_{2}|$ 有最小值2，则 $ω$ 和 $φ$ 的值分别是（）

A、 $ω = π, φ = 0$ B、 $ω = π, φ = \frac{π}{2}$ C、 $ω = \frac{π}{2}, φ = \frac{π}{2}$ D、 $ω = \frac{π}{2}, φ = 0$

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7、若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径 $r$ 的数值为（）

A、2 B、3 C、4 D、 $\sqrt{3}$

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (- 2, λ)$ ，且 $|\vec{b}| = \sqrt{5}, (λ > 0)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、0

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9、已知 $z = \frac{2 (1 - i)}{1 + i}, \bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $\bar{z} =$ （）

A、0 B、 $2 i$ C、2 D、 $- 2$

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10、已知 $A = \{x ∣ |x| \leq 1\}, B = {x ∣ x < 5, x \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{1\}$ C、 $[0, 1]$ D、 $(0, 1]$

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11、曼哈顿距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场景，例如无人驾驶出租车行驶、物流配送等．在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图像处理和路径规划等问题．曼哈顿距离用于标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系内有两个点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}),$ 它们之间的曼哈顿距离 $D (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}| .$

(1)、已知点 $A (2, 1), B (3, - 3)$ ，求 $D (A, B)$ 的值；

(2)、已知平面直角坐标系内一定点 $A (2, 1)$ ，动点 $P$ 满足 $D (A, P) = 2$ ，求动点 $P$ 围成的图形的面积：

(3)、已知空间直角坐标系内一定点 $A (2, 1, 3)$ ，动点 $P$ 满足 $D (A, P) = m (m > 0)$ ，若动点 $P$ 围成的几何体的体积是 $32 \sqrt{3}$ ，求 $m$ 的值．

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12、已知空间向量列 $\{\vec{a_{n}}\}$ ，如果对于任意的正整数 $n$ ，均有 $\vec{a_{n + 1}} - \vec{a_{n}} = \vec{d}$ ，则称此空间向量列 $\{\vec{a_{n}}\}$ 为“等差向量列”， $\vec{d}$ 称为“公差向量”；空间向量列 $\{{\vec{b}}_{n}\}$ ，如果 ${\vec{b}}_{1} \neq \vec{0}$ 且对于任意的正整数 $n$ ，均有 $\vec{b_{n + 1}} = q \cdot \vec{b_{n}}$ ， $q \neq 0$ ，则称此空间向量列 $\{\vec{b_{n}}\}$ 为“等比向量列”，常数 $q$ 称为“公比”.

(1)、若 $\{\vec{a_{n}}\}$ 是“等差向量列”，“公差向量” $\vec{d} = (1, 1, 0)$ ， ${\vec{a}}_{1} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{a_{n}} = (x_{n}, y_{n}, z_{n})$ ； $\{\vec{b_{n}}\}$ 是“等比向量列”，“公比” $q = 2$ ， ${\vec{b}}_{1} = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$ ， $\vec{b_{n}} = (m_{n}, k_{n}, t_{n})$ .求 ${\vec{a}}_{1} \cdot {\vec{b}}_{1} + {\vec{a}}_{2} \cdot {\vec{b}}_{2} + \cdot \cdot \cdot + {\vec{a}}_{n} \cdot {\vec{b}}_{n}$ ；

(2)、若 $\{\vec{a_{n}}\}$ 是“等差向量列”， ${\vec{a}}_{1} = (0, 0, 0)$ ，记 $c_{n} = |\vec{a_{n}}|$ ， $m \in N$ 且 $m \geq 1$ ，等式 $S (m) = |c_{1}| + |c_{2}| + |c_{3}| + \cdot \cdot \cdot + |c_{m}| = |c_{1} - c| + |c_{2} - c| + |c_{3} - c| + \cdot \cdot \cdot + |c_{m} - c|$ 对于 $c = 1$ 和2均成立，且 $S (m) = 507$ ，求 $m$ 的最大值.

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13、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，且其右焦点 $F$ 也是抛物线 $C_{2} : y^{2} = 4 x$ 的焦点．
（1）求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程；
（2）过椭圆 $C_{1}$ 的右焦点 $F$ 作直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 满足 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与椭圆 $C_{1}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $l_{2}$ 与抛物线 $C_{2}$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点，求四边形 $A C B D$ 面积的最小值．

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14、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点O.E分别是 $A_{1} C_{1}$ 、 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $A_{1} C$ 与 $A C_{1}$ 交于点F， $A O ⊥$ 平 $A_{1} B_{1} C_{1}$ $.$ 已知 $∠ B C A = 90 °$ ， $A A_{1} = A C = B C = 2$ .
（1）求证： $E F //$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；
（2）求 $A_{1} C_{1}$ 与平面 $A A_{1} B_{1}$ 所成角的正弦值.

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15、已知函数 $f (x) = (x + a) \ln x - (a + 1) (x - 1)$ .
（1）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
（2）是否存在实数 $a$ ，使得 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 具有单调性？若存在，求所有 $a$ 的取值构成的集合；若不存在，请说明理由.

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16、在 $Δ A B C$ 中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长. $b \cos A = \sqrt{2} a \cos B$ ， $\cos B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .
（1）求角A的值；
（2）若 $c = 2 + \sqrt{2}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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17、编号为 $1, 2, 3, 4$ 的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记 $m$ 表示前两个球号码的平均数，记 $n$ 表示三个球号码的平均数，则 $m$ 与 $n$ 之差的绝对值不超过0.2的概率是.

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18、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{64} ＋ \frac{y^{2}}{28} = 1$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，椭圆 $C$ 上的一点 $P$ 到左焦点的距离为6，点 $M$ 是线段 $P F_{1}$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则 $| O M | =$ .

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19、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n} = \{\begin{matrix} n + 1, n 为偶数 \\ 3^{n}, n 为奇数 \end{matrix}$ ，若 $a_{m - 1} a_{m} = a_{m + 1} (m ⩾ 2)$ ，则 $m =$ ；

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20、如图，已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为 $\sqrt{5}$ ，点 $E$ 为棱 $A D$ 的中点，点 $P$ 在侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内运动（包含边界），且 $E P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为 $2 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $C P$ 长度的最小值为 $2 \sqrt{2} - 1$ B、存在点 $P$ ，使得 $E P ⊥ P C$ C、存在点 $P$ ，使得 $A P // E C_{1}$ D、棱长为1.5的正方体可以在此空心棱台容器内部任意转动

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